Utilize as equações
e
para determinar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $, que é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz $. A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que serve quando $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, mas está “misturada” com elas na equação. Para resolver, vamos usar as equações dadas para encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função $ F(x, y, z) $ que define nossa equação. Aqui, podemos rearranjar a equação original para $ F(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3xyz = 0 $. Isso nos ajuda a aplicar as fórmulas de derivadas parciais fornecidas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
-
Derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $:
-
Derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $:
-
Derivada parcial de $ F $ em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos usar as fórmulas fornecidas para encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Resposta
As derivadas parciais são: