Utilize as equações partial zpartial x=-partial Fpartial xpartial Fpartial z e partial zpartial y=-partial Fpartial ypartial Fpartial z para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
x^2+y^2+z^2=3 x y z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $, que é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz $. A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que serve quando $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, mas está “misturada” com elas na equação. Para resolver, vamos usar as equações dadas para encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função $ F(x, y, z) $ que define nossa equação. Aqui, podemos rearranjar a equação original para $ F(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3xyz = 0 $. Isso nos ajuda a aplicar as fórmulas de derivadas parciais fornecidas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
  • Derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $:
    F
  • Derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $:
    x
  • Derivada parcial de $ F $ em relação a $ z $:
    y

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas fornecidas para encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial x
partial zpartial y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 3yz - 2x2z - 3xy
partial zpartial y = 3xz - 2y2z - 3xy

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