Uma curva
é dada em coordenadas polares por meio da função de uma variável
e
Obtenha a fórmula para o cálculo do comprimento de uma curva
neste caso, lembrando que, em geral
Aplique a fórmula obtida para o cálculo da curva dada parametricamente por
rho(theta)=sen theta, com
theta in[0, pi] .
Passo 1
O enunciado pede derivar a fórmula do comprimento de arco de uma curva
gamma em coordenadas polares, onde
e depois aplicar essa fórmula ao caso
rho(theta)=sintheta ,
thetain[0,pi] . O conteúdo envolve comprimento de curva via a integral
Passo 2
Vamos computar
gamma'(theta)=(x'(theta),y'(theta)) . Usando a regra do produto e a cadeia:
O quadrado da norma é
Passo 3
Expandindo e somando os termos, nota-se que os cruzamentos se cancelam e usamos
cos^2theta+sin^2theta=1 :
Logo
e a fórmula geral do comprimento fica
Passo 4
Agora aplicamos a
rho(theta)=sintheta em
[0,pi] . Temos
logo o integrando é
Portanto