Uma curva gamma:[a, b] R^2 é dada em coordenadas polares por meio da função de uma variável rho(theta) e
x=rho(theta) cos theta, y=rho(theta) sen theta
Obtenha a fórmula para o cálculo do comprimento de uma curva gamma neste caso, lembrando que, em geral
L(gamma)=integrala^b|gamma^prime(t)| d t
Aplique a fórmula obtida para o cálculo da curva dada parametricamente por rho(theta)=sen theta, com theta in[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede derivar a fórmula do comprimento de arco de uma curva gamma em coordenadas polares, onde
x=rho(theta)costheta, y=rho(theta)sintheta,
e depois aplicar essa fórmula ao caso rho(theta)=sintheta, thetain[0,pi]. O conteúdo envolve comprimento de curva via a integral
L(gamma)=integrala^b|gamma'(theta)|,dtheta

Passo 2

Vamos computar gamma'(theta)=(x'(theta),y'(theta)). Usando a regra do produto e a cadeia:
x'(theta)=rho'(theta)costheta-rho(theta)sintheta,
y'(theta)=rho'(theta)sintheta+rho(theta)costheta
O quadrado da norma é
| gamma'(theta)|^2 = l(rho'costheta - rhosinthetar)^2 + l(rho'sintheta + rhocosthetar)^2

Passo 3

Expandindo e somando os termos, nota-se que os cruzamentos se cancelam e usamos cos^2theta+sin^2theta=1:
|gamma'(theta)|^2 = (rho')^2(cos^2theta+sin^2theta)+rho^2(sin^2theta+cos^2theta) =(rho')^2+rho^2
Logo
|gamma'(theta)|=raizrho(theta)^2+rho'(theta)^2,
e a fórmula geral do comprimento fica
L=integrala^braizrho(theta)^2+l(rho'(theta)r)^2,dtheta

Passo 4

Agora aplicamos a rho(theta)=sintheta em [0,pi]. Temos
rho'(theta)=costheta,
logo o integrando é
raizsin^2theta+cos^2theta = 1
Portanto
L=integral0^pi1,dtheta = pi

Resposta

L(gamma)=pi

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