Considere a função f definida em [-3,2] por f(x)=\left|x^{3}-2 x^{2}+3 x-4\right|. Determine dois números reais m e M tais que m \leq f(x) \leq M, seja qual for o valor de x no intervalo [-3,2].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\bigl|x^{3}-2x^{2}+3x-4\bigr|
definida em [-3,2] e pede um menor m e um maior M tais que
m \le f(x)\le M\quad\forall x\in[-3,2].
O conteúdo envolve análise de uma função composta por valor absoluto: primeiro estudamos o polinômio
g(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-4
sem o valor absoluto, achamos suas características (sinais, monotonicidade e zeros) e daí inferimos o mínimo e o máximo de \lvert g(x)\rvert.

Passo 2

Vejamos a derivada de g para determinar monotonicidade:
g'(x)=3x^{2}-4x+3.
O discriminante desta quadrática é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot3\cdot3=16-36=-20<0,
logo g'(x)>0 para todo x. Concluímos que g é estritamente crescente em todo \mathbb{R}, logo também em [-3,2].

Passo 3

Como g é crescente, seus valores em [-3,2] variam de
g(-3)=(-3)^{3}-2(-3)^{2}+3(-3)-4=-27-18-9-4=-58
até
g(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}+3\cdot2-4=8-8+6-4=2.
Note que g muda de sinal (de negativo para positivo), logo existe exatamente um ponto x_{0}\in(-3,2) tal que g(x_{0})=0. Em particular
\min_{x\in[-3,2]}g(x)=g(-3)=-58,\qquad \max_{x\in[-3,2]}g(x)=g(2)=2.

Passo 4

Agora, f(x)=|g(x)|. Como g passa por zero em x_{0}, temos
\min_{x\in[-3,2]}f(x)=|g(x_{0})|=0.
Para o máximo de f, bastam os extremos de g:
f(-3)=|g(-3)|=|-58|=58,
f(2)=|g(2)|=|2|=2.
Como 58>2, o maior valor de f em [-3,2] é 58.

Resposta

Podemos tomar
m=0, \quad M=58,
pois para todo x\in[-3,2] vale
0\le f(x)\le 58.

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