Construa os gráficos da seguintes funções: g(x)=\left|x^{3}\right|,-1 \leq x<2.
Passo 1
O enunciado pede o gráfico de g(x)=|x^3| no intervalo [-1,2). O conteúdo é análise de função peça-por-peça e transformação de gráfico (valor absoluto). Para resolver, vamos:
identificar como escrever |x^3| em função do sinal de x;
calcular pontos notáveis;
discutir monotonia e concavidade em cada parte;
marcar inclusion/exclusion de extremidades;
descrever o esboço final.
Passo 2
A definição peça-por-peça decorre do sinal de x^3\):
\[g(x)=|x^3|= \begin{cases} -\,x^3, & -1\le x<0,\\\ x^3, & 0\le x<2. \end{cases}
Para x<0\], \(x^3 é negativo e o módulo inverte o sinal; para x\ge0, |x^3|=x^3.
No ponto x=-1 e em x=0 temos círculos fechados (\in do domínio). Em x=2 teremos Círculo aberto em (2,8) pois 2 não pertence ao domínio.
Passo 4
Analisando monotonia e concavidade:
Para -1\le x<0: g(x)=-x^3 tem derivada g'(x)=-3x^2\le0, logo é decrescente; segunda derivada g''(x)=-6x\ge0, logo côncavo para cima.
Para 0<x<2: g(x)=x^3 tem g'(x)=3x^2>0, logo crescente; g''(x)=6x>0, côncavo para cima.
Passo 5
Esboço do gráfico:
No ramo [-1,0], traçar a curva y=-x^3 saindo de (-1,1) (ponto fechado) até (0,0) (ponto fechado), decrescente e côncava para cima.
No ramo [0,2), traçar a curva y=x^3 saindo de (0,0) até “quase” (2,8), crescente e côncava para cima, com (2,8) marcado por círculo aberto.
Marcar eixo x de -1 a 2 e eixo y de 0 a 8.
Resposta
O gráfico de g(x)=|x^3|\) em \([-1,2)\) é dado por duas curvas cúbicas:
\[g(x)= \begin{cases} -\,x^3, & -1\le x\le0\quad\text{(de }(-1,1)\text{ fechado a }(0,0)\text{ fechado)},\\\ x^3, & 0\le x<2\quad\text{(de }(0,0)\text{ fechado a }(2,8)\text{ aberto)}. \end{cases}
No intervalo [-1,0]\] a curva é decrescente côncava para cima; em \([0,2) é crescente côncava para cima; em (2,8) há círculo aberto.