Considere a função f: R -> R definida por y = f(x) = x^4 - 4 x^2 + 3, para cada x em R. A área da região limitada pelo gráfico da função y = f(x). ० eixo O x e as retas x = 0 e x = 2, é igual a: (Lembre de esboçar o gráfico)
O
A) 16/15 unidades de área.

B) 76/15 unidades de área.
O
C) 26/15 unidades de área
O
D) 38/15 unidades de área.
E) 44/15 unidades de área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O objetivo é encontrar a área da região limitada pelo gráfico dessa função, pelo eixo , e pelas retas verticais e . Vamos usar cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender entre quais valores de a função está acima ou abaixo do eixo . Isso porque a área é sempre positiva, então se a função ficar abaixo do eixo, a gente pega o valor absoluto.
Vamos encontrar onde :

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou .
Voltando para :

Passo 4

Agora, vamos analisar a função entre e :
  • Em , (acima do eixo)
  • Em , (cruza o eixo)
  • Em , (acima do eixo)
Então, a função cruza o eixo em , ficando abaixo entre e .

Passo 5

Para encontrar a área, vamos dividir o intervalo em duas partes:
  1. De a , onde está abaixo do eixo .
  2. De a , onde está acima do eixo .
A área total será a soma das áreas dessas duas partes.

Passo 6

A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
Á
Mas como sabemos onde a função está acima ou abaixo, podemos ajustar os sinais:
Á

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, de a :
Integrando termo a termo:

Passo 8

Agora, de a :
Integrando termo a termo:
Calculando:
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor absoluto:

Passo 9

Agora, somamos as duas áreas:
Á

Resposta

A área da região limitada é unidades de área.

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