Considere a função definida por , para cada . A área da região limitada pelo gráfico da função . ० eixo e as retas e , é igual a: (Lembre de esboçar o gráfico)
O
A) unidades de área.
○
B) unidades de área.
O
C) unidades de área
O
D) unidades de área.
E) unidades de área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O objetivo é encontrar a área da região limitada pelo gráfico dessa função, pelo eixo , e pelas retas verticais e . Vamos usar cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender entre quais valores de a função está acima ou abaixo do eixo . Isso porque a área é sempre positiva, então se a função ficar abaixo do eixo, a gente pega o valor absoluto.
Vamos encontrar onde :
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou .
Voltando para :
Passo 4
Agora, vamos analisar a função entre e :
Em , (acima do eixo)
Em , (cruza o eixo)
Em , (acima do eixo)
Então, a função cruza o eixo em , ficando abaixo entre e .
Passo 5
Para encontrar a área, vamos dividir o intervalo em duas partes:
De a , onde está abaixo do eixo .
De a , onde está acima do eixo .
A área total será a soma das áreas dessas duas partes.
Passo 6
A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
Mas como sabemos onde a função está acima ou abaixo, podemos ajustar os sinais:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, de a :
Integrando termo a termo:
Passo 8
Agora, de a :
Integrando termo a termo:
Calculando:
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor absoluto: