Considere a função f: R^2 R definida por
f(x, y)=l x^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que f tem derivada direcional na origem em qualquer direção, mas não é diferenciável nesse ponto.

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR por
f(x,y)= dfracx^2yx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
Precisamos mostrar que ela tem derivada direcional na origem em qualquer direção e, ao mesmo tempo, não é diferenciável nesse ponto. Vamos usar a definição de derivada direcional e o critério de diferenciabilidade via aproximação linear e resto.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional em direção u=(a,b) (com a^2+b^2=1), usamos
Duf(0,0)=limtto0f(ta,tb)-f(0,0)t= limtto0f(ta,tb)t
Como (ta,tb)neq(0,0) para tneq0,
f(ta,tb)=(ta)^2,(tb)(ta)^2+(tb)^2 =t^3a^2bt^2(a^2+b^2) = ta^2ba^2+b^2
Logo
f(ta,tb)t=a^2ba^2+b^2,
que não depende de t. Portanto
Duf(0,0)=a^2ba^2+b^2
existe para toda direção (a,b).

Passo 3

Para a diferenciabilidade em (0,0), o único candidato a aproximação linear é
L(x,y)=fx(0,0)x+fy(0,0)y
Mas as derivadas parciais são as derivadas direcionais nas direções (1,0) e (0,1), ou seja,
L(x,y)=0 e
f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)=o(raizx^2+y^2) .
Então (x,y)to(0,0). Para ser diferenciável precisaríamos de
quando .

Passo 4

Para ver que o resto não é o(raizx^2+y^2), escolhemos a reta y=x. Então
f(x,x)=x^2,xx^2+x^2=x^32x^2=x2
Como |(x,x)|=raiz2,|x|,
f(x,x)raizx^2+x^2 =x/2|x|raiz2 =sgn(x)2raiz2
Esse limite, para xto0, não tende a zero (fica em pm1/(2raiz2)). Logo o resto não é desprezível e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Para qualquer direção (a,b) com a^2+b^2=1, existe
D(a,b)f(0,0)=a^2ba^2+b^2
Contudo f não é diferenciável em (0,0) porque o erro da aproximação linear (que seria zero) não é o(raizx^2+y^2), como se vê na reta y=x.

Exercícios relacionados