Mostre que tem derivada direcional na origem em qualquer direção, mas não é diferenciável nesse ponto.
Passo 1
O enunciado define a função por
Precisamos mostrar que ela tem derivada direcional na origem em qualquer direção e, ao mesmo tempo, não é diferenciável nesse ponto. Vamos usar a definição de derivada direcional e o critério de diferenciabilidade via aproximação linear e resto.
Passo 2
Para calcular a derivada direcional em direção u=(a,b) (com a^2+b^2=1), usamos
Para a diferenciabilidade em (0,0), o único candidato a aproximação linear é
L(x,y)=fx(0,0)x+fy(0,0)y
Mas as derivadas parciais são as derivadas direcionais nas direções (1,0) e (0,1), ou seja, L(x,y)=0 e f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)=o(raizx^2+y^2) .
Então (x,y)to(0,0). Para ser diferenciável precisaríamos de
quando .
Passo 4
Para ver que o resto não é o(raizx^2+y^2), escolhemos a reta y=x. Então
f(x,x)=x^2,xx^2+x^2=x^32x^2=x2
Como |(x,x)|=raiz2,|x|,
f(x,x)raizx^2+x^2 =x/2|x|raiz2 =sgn(x)2raiz2
Esse limite, para xto0, não tende a zero (fica em pm1/(2raiz2)). Logo o resto não é desprezível e f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
Para qualquer direção (a,b) com a^2+b^2=1, existe
D(a,b)f(0,0)=a^2ba^2+b^2
Contudo f não é diferenciável em (0,0) porque o erro da aproximação linear (que seria zero) não é o(raizx^2+y^2), como se vê na reta y=x.