1. Considere a função f: R^2 R definida por:
f(x, y)=l x y(x^2-y^2)x^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique que fx y(0,0) neq fy x(0,0).
(b) Investigue a continuidade das derivadas parciais fx e fy na origem.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y,(x^2-y^2)x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede em (a) que verifiquemos que
fxy(0,0)neq fyx(0,0),
isto é, que as derivadas parciais mistas na origem são diferentes. Em (b), investiga-se a continuidade de fx e fy em (0,0). Para (a) usaremos a definição de derivada parcial mista em termos de limites de derivadas parciais de primeira ordem, e em (b) derivaremos expressões fechadas para fx e fy em (x,y)neq(0,0) e mostraremos que vão a zero quando (x,y)to(0,0).

Passo 2

Calculamos primeiro
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
e
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0

Passo 3

Para achar fxy(0,0) usamos
fxy(0,0) =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k
Como f(0,y)=0 para todo y, temos para yneq0:
fx(0,y) =limhto0f(h,y)-f(0,y)h =limhto0dfrach,y,(h^2-y^2)h^2+y^2h =y;h^2-y^2h^2+y^2xrightarrow[hto0]-y
Logo fx(0,y)=-y e
fxy(0,0) =limkto0-k-0k=-1

Passo 4

Para achar fyx(0,0) usamos
fyx(0,0) =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h
Como f(x,0)=0, para xneq0
fy(x,0) =limkto0f(x,k)-f(x,0)k =limkto0dfracx,k,(x^2-k^2)x^2+k^2k =x,x^2-k^2x^2+k^2xrightarrow[kto0]x
Logo fy(x,0)=x e
fyx(0,0) =limhto0h-0h=1

Passo 5

Concluímos que
fxy(0,0)=-1 e fyx(0,0)=1,
portanto realmente fxy(0,0)neq fyx(0,0).

Passo 6

Agora, para (b), obtivemos para (x,y)neq(0,0) as expressões
fx(x,y) =yl(x^4+4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2, fy(x,y) =xl(x^4-4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2

Passo 7

Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta temos
fx(r,theta) =r,sintheta,( cos^4theta+4cos^2thetasin^2theta-sin^4theta),
e analogamente fy(r,theta)=r,costheta,(cdots). Como |cdots| é limitada, segue que
limrto0fx(r,theta)=0, limrto0fy(r,theta)=0
uniformemente em theta.

Passo 8

Como fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0, isso mostra que fx(x,y)to0=fx(0,0) e fy(x,y)to0=fy(0,0) quando (x,y)to(0,0). Portanto fx e fy são contínuas na origem.

Resposta

(a) fxy(0,0)=-1neq1=fyx(0,0).
(b) As derivadas parciais fx e fy são contínuas em (0,0).

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