- Considere a função
definida por:
(a) Verifique que
fx y(0,0) neq fy x(0,0) .
(b) Investigue a continuidade das derivadas parciais
fx e
fy na origem.
(b) Investigue a continuidade das derivadas parciais
Passo 1
O enunciado define a função
e pede em (a) que verifiquemos que
isto é, que as derivadas parciais mistas na origem são diferentes. Em (b), investiga-se a continuidade de
fx e
fy em
(0,0) . Para (a) usaremos a definição de derivada parcial mista em termos de limites de derivadas parciais de primeira ordem, e em (b) derivaremos expressões fechadas para
fx e
fy em
(x,y)neq(0,0) e mostraremos que vão a zero quando
(x,y)to(0,0) .
Passo 2
Calculamos primeiro
e
Passo 3
Para achar
fxy(0,0) usamos
Como
f(0,y)=0 para todo
y , temos para
yneq0 :
Logo
fx(0,y)=-y e
Passo 4
Para achar
fyx(0,0) usamos
Como
f(x,0)=0 , para
xneq0
Logo
fy(x,0)=x e
Passo 5
Concluímos que
portanto realmente
fxy(0,0)neq fyx(0,0) .
Passo 6
Agora, para (b), obtivemos para
(x,y)neq(0,0) as expressões
Passo 7
Em coordenadas polares
x=rcostheta ,
y=rsintheta temos
e analogamente
fy(r,theta)=r,costheta,(cdots) . Como
|cdots| é limitada, segue que
uniformemente em
theta .
Passo 8
Como
fx(0,0)=0 e
fy(0,0)=0 , isso mostra que
fx(x,y)to0=fx(0,0) e
fy(x,y)to0=fy(0,0) quando
(x,y)to(0,0) . Portanto
fx e
fy são contínuas na origem.
Resposta
(a)
fxy(0,0)=-1neq1=fyx(0,0) .
(b) As derivadas parciaisfx e
fy são contínuas em
(0,0) .
(b) As derivadas parciais