Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
F=e^x ln (y) i+(e^x / y+sen(z)) j+y cos (z) k

Passo 1

A questão pede para verificar se o campo vetorial
F = e^{x}
ln(y)
\mathbf{i} + \bigl(e^{x}/y + \operatorname{sen}(z)\bigr)
\mathbf{j} + y\cos(z)
\mathbf{k}
é conservativo e, caso positivo, encontrar a função potencial associada. Vamos usar o teste do rotor e depois integrar as componentes do campo para obter φ(x,y,z).

Passo 2

O primeiro passo é calcular o rotor de F e verificar se ele é nulo. Lembrando que
nabla times F = (partialy Fz - partialz Fy),i + (partialz Fx - partialx Fz),j + (partialx Fy - partialy Fx),k
Calculando cada componente:
partialy(ycos z) - partialzl(e^x/y + sen zr) = cos z - cos z = 0,
partialz(e^x ln y) - partialx(ycos z) = 0 - 0 = 0,
partialx(e^x/y + sen z) - partialy(e^x ln y) = e^x/y - e^xcdot(1/y) = 0
Como todas as componentes do rotor são zero e o domínio (y>0) é simplesmente conectado, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Agora, para achar a função potencial φ(x,y,z), integramos a componente x de F:
partial φpartial x = e^x ln y implies φ(x,y,z) = integral e^x ln y,dx = e^x ln y + C(y,z)

Passo 4

Em seguida usamos a condição na componente y:
partial φpartial y = e^xy + partial Cpartial y stackrel!= e^x/y + sen z
Isto dá
partial Cpartial y = sen z implies C(y,z) = ysen z + D(z)

Passo 5

Por fim, usamos a componente z para determinar D(z):
partial φpartial z = ycos z + D'(z) stackrel!= ycos z
logo
D'(z)=0 implies D(z)=constante
Isso nos leva à potencial:
φ(x,y,z)=e^xln y + ysen z + constante

Resposta

Uma função potencial é
φ(x,y,z)=e^xln y + ysen z + C,
com C constante (podemos tomar C=0).

Exercícios relacionados