Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
Passo 1
A questão pede para verificar se o campo vetorial
F = e^{x}
ln(y)
\mathbf{i} + \bigl(e^{x}/y + \operatorname{sen}(z)\bigr)
\mathbf{j} + y\cos(z)
\mathbf{k}
é conservativo e, caso positivo, encontrar a função potencial associada. Vamos usar o teste do rotor e depois integrar as componentes do campo para obter φ(x,y,z).
F = e^{x}
ln(y)
\mathbf{i} + \bigl(e^{x}/y + \operatorname{sen}(z)\bigr)
\mathbf{j} + y\cos(z)
\mathbf{k}
é conservativo e, caso positivo, encontrar a função potencial associada. Vamos usar o teste do rotor e depois integrar as componentes do campo para obter φ(x,y,z).
Passo 2
O primeiro passo é calcular o rotor de F e verificar se ele é nulo. Lembrando que
Calculando cada componente:
Como todas as componentes do rotor são zero e o domínio (y>0) é simplesmente conectado, concluímos que F é conservativo.
Passo 3
Agora, para achar a função potencial φ(x,y,z), integramos a componente x de F:
Passo 4
Em seguida usamos a condição na componente y:
Isto dá
Passo 5
Por fim, usamos a componente z para determinar D(z):
logo
Isso nos leva à potencial:
Resposta
Uma função potencial é
com C constante (podemos tomar C=0).