Considere a função f definida por:
f(x, y)=l x y^4raizx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique se f é contínua em (0,0).Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeiras fx e fy em (0,0);
© A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a função de duas variáveis definida por
f(x,y)= dfracx,y^4raizx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo envolve limite em várias variáveis (continuidade), derivadas parciais pelo limite incremental e teste de diferenciabilidade via resto o((\sqrt{h2+k2})

Passo 2

Para ver se f é contínua em (0,0), calculamos:
Utilizando coordenadas polares, escrevemos x=rcostheta e y=rsintheta. Para r>0,
f(r,theta)=(rcostheta)(rsintheta)^4raiz(rcostheta)^2+(rsintheta)^2= r^5costhetasin^4thetar=r^4costheta,sin^4theta
Como |costhetasin^4theta|<=1, temos |f(r,theta)|<= r^4. Quando rto0, r^4to0. Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para calcular as derivadas parciais em (0,0), usamos a definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h,
mas para y=0 temos f(h,0)=0 (pois o numerador hcdot0^4=0). Logo
fx(0,0)=limhto00-0h=0
Analogamente,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h= rac0-0h=0

Passo 4

Para averiguar a diferenciabilidade em (0,0), checamos se o resto
R(h,k)=f(h,k)-l(f(0,0)+fx(0,0)h+fy(0,0)kr)=f(h,k)
és o(raizh^2+k^2). Em polares, já vimos que
f(r,theta)=r^4costhetasin^4theta
Então
|R(h,k)|raizh^2+k^2=|f(r,theta)|r=r^3|costhetasin^4theta|<= r^3to0(rto0)
Isso mostra que o resto é de ordem menor que r e, portanto, f é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) f é contínua em (0,0). (b) f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0. © f é diferenciável em (0,0).

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