Considere a função
definida por:
(a) Verifique se
é contínua em
.Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeiras
e
em
;
© A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
(b) Calcule as derivadas parciais primeiras
© A função
Passo 1
Nesse exercício vamos analisar a função de duas variáveis definida por
O conteúdo envolve limite em várias variáveis (continuidade), derivadas parciais pelo limite incremental e teste de diferenciabilidade via resto o((\sqrt{h2+k2})
Passo 2
Para ver se
f é contínua em
(0,0) , calculamos:
Utilizando coordenadas polares, escrevemosx=rcostheta e
y=rsintheta . Para
r>0 ,
Utilizando coordenadas polares, escrevemos
Como
|costhetasin^4theta|<=1 , temos
|f(r,theta)|<= r^4 . Quando
rto0 ,
r^4to0 . Logo
portanto
f é contínua em
(0,0) .
Passo 3
Para calcular as derivadas parciais em
(0,0) , usamos a definição:
mas para
y=0 temos
f(h,0)=0 (pois o numerador
hcdot0^4=0 ). Logo
Analogamente,
Passo 4
Para averiguar a diferenciabilidade em
(0,0) , checamos se o resto
és
o(raizh^2+k^2) . Em polares, já vimos que
Então
Isso mostra que o resto é de ordem menor que
r e, portanto,
f é diferenciável em
(0,0) .
Resposta
(a) f é contínua em (0,0). (b) f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0. © f é diferenciável em (0,0).