Esboce o gráfico das funções indicadas abaixo. g(x)=\left|x^{2}+5 x+4\right|
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
g(x)=\bigl|x^{2}+5x+4\bigr|.
O conteúdo aqui é o estudo de funções definidas por valor absoluto: primeiro analisamos a função interna h(x)=x^{2}+5x+4, achamos suas raízes e o seu sinal em cada região, e então escrevemos g(x) de forma peça-por-peça, refletindo as partes negativas de h(x) acima do eixo x.
Passo 2
Encontramos as raízes de
h(x)=x^{2}+5x+4=0.
Usando fatoração,
x^{2}+5x+4=(x+1)(x+4),
logo as raízes são x=-1 e x=-4. Essas raízes dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-4), (-4,-1) e (-1,\infty). Como o coeficiente de x^2 em h(x) é positivo, h(x)>0 em (-\infty,-4) e em (-1,\infty), e h(x)<0 em (-4,-1).
Passo 3
Para entender o “fundo” da parte negativa de h(x), calculamos o vértice da parábola y=h(x). A abscissa do vértice é
x_v=-\frac{5}{2}=-2,5.
O valor de h ali é
h(-2,5)=(-2,5)^{2}+5(-2,5)+4=6,25-12,5+4=-2,25.
Como g(x)=|h(x)|, na região onde h(x) é negativo (isto é, em [-4,-1]), o gráfico de g “vira para cima” esse trecho, atingindo o mínimo g(-2,5)=2,25.
Passo 4
Escrevemos então g(x)\) de forma peça-por-peça:
\[g(x)= \begin{cases} x^{2}+5x+4, & x\le -4,\\[6pt] -\bigl(x^{2}+5x+4\bigr), & -4\le x\le -1,\\[6pt] x^{2}+5x+4, & x\ge -1. \end{cases}
Nos pontos x=-4\] e \(x=-1 temos g(-4)=g(-1)=0. O vértice “refletido” em [-2,5; 2,25] é o ponto \bigl(-2,5; 2,25\bigr).]
Passo 5
Para esboçar o gráfico, basta: 1. Desenhar a parábola original y=x^{2}+5x+4 em (-\infty,-4] e em [-1,\infty), passando pelos pontos (-4,0) e (-1,0). 2. Na faixa [-4,-1], desenhar a parábola invertida y=-(x^{2}+5x+4), que atinge seu mínimo em y=2,25 para x=-2,5. 3. Traçar tudo de forma contínua em x=-4 e x=-1.
Resposta
O gráfico de g(x)=|x^{2}+5x+4| é a parábola y=x^{2}+5x+4 nos ramos exteriores (-\infty,-4] e [-1,\infty), e o trecho invertido y=-(x^{2}+5x+4) em [-4,-1], com zeros em (-4,0) e (-1,0) e vértice em \bigl(-2,5,2,25\bigr).