(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio de
. Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é
. - Para a função real estar bem definida precisamos que a expressão dentro da raiz seja compatível com a raiz real e que o denominador não seja zero.
Passo 2
Regras importantes (lembrete didático): para uma expressão do tipo
ser definida em
é necessário que:
- o radicando satisfaça
(para a raiz ser real), - e o denominador seja diferente de zero, logo
, o que implica .
Combinando essas duas condições, para nosso caso precisamos de
Passo 3
Resolver a desigualdade
Fatorando o lado esquerdo obtemos
Passo 4
Interpretando a desigualdade
: o produto de dois fatores é positivo quando ambos têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Os pontos críticos onde cada fator muda de sinal são
e
. Isso divide a reta em três intervalos:
,
e
.
Passo 5
Testando um valor em cada intervalo para determinar o sinal do produto:
- Para
(no intervalo ):
logo o produto é positivo nesse intervalo.
- Para
(no intervalo ):
logo o produto é negativo nesse intervalo.
- Para
(no intervalo ):
logo o produto é positivo nesse intervalo.
Passo 6
Conclusão da desigualdade:
só ocorre em
Observe que os pontos
e
não estão permitidos porque aí
e o denominador seria zero.
Passo 7
Verificação final sobre o numerador:
não impõe restrição de domínio (é polinomial), e no caso
temos
, portanto
pertence ao domínio e produz
. Ou seja, nenhum zero do numerador exclui pontos já admitidos pelo denominador.