(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
g(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-4 x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-4x}}
e pede: determinar o domínio de g. Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é o polinômio x+2.
  • O denominador é \sqrt{x^{2}-4x}.
  • Para a função real estar bem definida precisamos que a expressão dentro da raiz seja compatível com a raiz real e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Regras importantes (lembrete didático): para uma expressão do tipo \dfrac{\text{algo}}{\sqrt{R(x)}} ser definida em \mathbb{R} é necessário que:
  • o radicando satisfaça R(x)\ge 0 (para a raiz ser real),
  • e o denominador seja diferente de zero, logo \sqrt{R(x)}\neq 0, o que implica R(x)\neq 0.
    Combinando essas duas condições, para nosso caso precisamos de
x^{2}-4x>0.

Passo 3

Resolver a desigualdade
x^{2}-4x>0.
Fatorando o lado esquerdo obtemos
x^{2}-4x = x(x-4).

Passo 4

Interpretando a desigualdade x(x-4)>0: o produto de dois fatores é positivo quando ambos têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Os pontos críticos onde cada fator muda de sinal são x=0 e x=4. Isso divide a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,4) e (4,\infty).

Passo 5

Testando um valor em cada intervalo para determinar o sinal do produto:
  • Para x=-1 (no intervalo (-\infty,0)):
(-1)((-1)-4)=(-1)(-5)=5>0,
logo o produto é positivo nesse intervalo.
  • Para x=2 (no intervalo (0,4)):
2(2-4)=2(-2)=-4<0,
logo o produto é negativo nesse intervalo.
  • Para x=5 (no intervalo (4,\infty)):
5(5-4)=5\cdot1=5>0,
logo o produto é positivo nesse intervalo.

Passo 6

Conclusão da desigualdade: x(x-4)>0 só ocorre em
(-\infty,0)\cup(4,\infty).
Observe que os pontos x=0 e x=4 não estão permitidos porque aí x^{2}-4x=0 e o denominador seria zero.

Passo 7

Verificação final sobre o numerador: x+2 não impõe restrição de domínio (é polinomial), e no caso x=-2 temos x^{2}-4x=12>0, portanto x=-2 pertence ao domínio e produz g(-2)=0. Ou seja, nenhum zero do numerador exclui pontos já admitidos pelo denominador.

Resposta

(-\infty,0)\cup(4,\infty)

Exercícios relacionados