(2,5) Esboce o gráfico das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para esboçar o gráfico.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função explicitamente é
. - O objetivo é desenhar (esboçar) seu gráfico no plano
.
Passo 2
Entendendo a forma básica: o gráfico da função valor absoluto
Explicação curta e didática: para
(porque
é negativo e tirar o sinal vira positivo); para
não negativo,
. O ramo esquerdo tem inclinação
e o ramo direito tem inclinação
.]
Passo 3
Interpretando as transformações: a função
é a função
submetida a duas transformações:
- dentro do módulo,
foi substituído por , o que corresponde a uma translação horizontal de unidades para a esquerda (vértice desloca de para ); - fora do módulo, subtrai-se
, que corresponde a uma translação vertical de unidades para baixo (vértice desce de para ).
Passo 4
Escrever
Simplificando cada ramo:
Comentário didático: agora temos duas retas fáceis de desenhar — uma para
.]
Passo 5
Vértice (ponto mínimo) do “V”: ocorre quando a expressão dentro do módulo é zero, isto é quando
. Substituindo em
:
Logo o vértice é
. Observação encorajadora: esse é o ponto que domina o desenho — a partir dele saem as duas retas.
Passo 6
Interceptações com os eixos — pontos úteis para esboçar:
- Interseção com o eixo
(zerar ): resolver . Então
Portanto interceptos em
são
e
.
- Interseção com o eixo
(colocar ):
logo o ponto é
.
Passo 7
Alguns pontos adicionais e verificação de simetria:
- Para
: . Isso confirma a simetria do “V” em torno do vértice: espelha . - Para
já vimos .
Esses pontos ajudam no esboço sem calculadora.
Passo 8
Pendentes e monotonicidade:
- Para
, tem inclinação (reta decrescente quando aumenta). - Para
, tem inclinação (reta crescente quando aumenta).
Isto reforça o formato em V com mínimo em.
Passo 9
Domínio, imagem e continuidade:
- Domínio: todos os reais, isto é
. - Imagem (contradição mínima): como o vértice é
e os ramos vão para , a imagem é . - Continuidade:
é contínua em todo ; não é diferenciável em (canto do V).
Passo 10
Como esboçar na folha (passo a passo prático, faça à mão):
- Marque o vértice
. - Marque os interceptos com o eixo
: e . - Marque o intercepto com o eixo
: e, se quiser, o ponto . - Desenhe uma reta passando por
e com inclinação para a parte . - Desenhe uma reta passando por
e com inclinação para a parte . - Faça setas nas extremidades indicando que os ramos continuam indefinidamente.
Resposta
Vértice:
.
Interceptos com o eixo :
e
.
Intercepto com o eixo :
.
Domínio: .
Imagem: .]
Interceptos com o eixo
Intercepto com o eixo
Domínio:
Imagem: