(2,5) Esboce o gráfico das funções indicadas abaixo.
f(x)=|x+2|-4

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=|x+2|-4 e pede para esboçar o gráfico.
Informações fornecidas:
  • A função explicitamente é f(x)=|x+2|-4.
  • O objetivo é desenhar (esboçar) seu gráfico no plano (x,y).

Passo 2

Entendendo a forma básica: o gráfico da função valor absoluto |x|\) é um "V" com vértice em \((0,0)\), formado por duas retas: \[|x|=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge 0. \end{cases}
Explicação curta e didática: para x\] negativo, \(|x|=-x (porque x é negativo e tirar o sinal vira positivo); para x não negativo, |x|=x. O ramo esquerdo tem inclinação -1 e o ramo direito tem inclinação +1.]

Passo 3

Interpretando as transformações: a função f(x)=|x+2|-4 é a função |x| submetida a duas transformações:
  • dentro do módulo, x foi substituído por x+2, o que corresponde a uma translação horizontal de 2 unidades para a esquerda (vértice desloca de 0 para -2);
  • fora do módulo, subtrai-se 4, que corresponde a uma translação vertical de 4 unidades para baixo (vértice desce de 0 para -4).

Passo 4

Escrever f\) em forma piecewise (isso ajuda a desenhar): \[f(x)=|x+2|-4=\begin{cases} -(x+2)-4, & x+2<0,\\[4pt] x+2-4, & x+2\ge 0. \end{cases}
Simplificando cada ramo:
f(x)=\begin{cases} -x-6, & x<-2,\\[4pt] x-2, & x\ge -2. \end{cases}
Comentário didático: agora temos duas retas fáceis de desenhar — uma para x<-2\] e outra para \(x\ge -2.]

Passo 5

Vértice (ponto mínimo) do “V”: ocorre quando a expressão dentro do módulo é zero, isto é quando x+2=0\Rightarrow x=-2. Substituindo em f:
f(-2)=|{-2}+2|-4=0-4=-4.
Logo o vértice é (-2,-4). Observação encorajadora: esse é o ponto que domina o desenho — a partir dele saem as duas retas.

Passo 6

Interceptações com os eixos — pontos úteis para esboçar:
  • Interseção com o eixo x (zerar f): resolver |x+2|-4=0\Rightarrow |x+2|=4. Então
x+2=4\Rightarrow x=2,\qquad x+2=-4\Rightarrow x=-6.
Portanto interceptos em x são (-6,0) e (2,0).
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0):
f(0)=|0+2|-4=2-4=-2,
logo o ponto é (0,-2).

Passo 7

Alguns pontos adicionais e verificação de simetria:
  • Para x=-4: f(-4)=|{-4}+2|-4=|{-2}|-4=2-4=-2. Isso confirma a simetria do “V” em torno do vértice: (-4,-2) espelha (0,-2).
  • Para x=2 já vimos f(2)=0.
    Esses pontos ajudam no esboço sem calculadora.

Passo 8

Pendentes e monotonicidade:
  • Para x<-2, f(x)=-x-6 tem inclinação -1 (reta decrescente quando x aumenta).
  • Para x\ge-2, f(x)=x-2 tem inclinação +1 (reta crescente quando x aumenta).
    Isto reforça o formato em V com mínimo em (-2,-4).

Passo 9

Domínio, imagem e continuidade:
  • Domínio: todos os reais, isto é (-\infty,\infty).
  • Imagem (contradição mínima): como o vértice é -4 e os ramos vão para +\infty, a imagem é [ -4,\infty ).
  • Continuidade: f é contínua em todo \mathbb{R}; não é diferenciável em x=-2 (canto do V).

Passo 10

Como esboçar na folha (passo a passo prático, faça à mão):
  1. Marque o vértice (-2,-4).
  2. Marque os interceptos com o eixo x: (-6,0) e (2,0).
  3. Marque o intercepto com o eixo y: (0,-2) e, se quiser, o ponto (-4,-2).
  4. Desenhe uma reta passando por (-6,0) e (-2,-4) com inclinação -1 para a parte x<-2.
  5. Desenhe uma reta passando por (-2,-4) e (2,0) com inclinação +1 para a parte x\ge-2.
  6. Faça setas nas extremidades indicando que os ramos continuam indefinidamente.

Resposta

f(x)=\begin{cases} -x-6, & x<-2,\\[4pt] x-2, & x\ge -2. \end{cases}
Vértice: (-2,-4).
Interceptos com o eixo x: (-6,0) e (2,0).
Intercepto com o eixo y: (0,-2).
Domínio: (-\infty,\infty).
Imagem: [ -4,\infty ).]

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