Determine o valor de
12 pi integral-infty^infty e^2 i omega5+i omega e^i omega t d omega
Soluções possíveis: H(t+2) e^-5(t+2) ; H(t) e^2 i t ; H(e^-5(t+2)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
12piintegral-infty^inftye^2iomega5+iomega,e^iomega t,domega
Este é um caso de transformada inversa de Fourier de dfrac15+iomega multiplicada por e^2iomega. Vamos usar a propriedade padrão
integral-infty^inftye^iomega ua+iomega,domega =2pi,e^-a u,H(u)(a>0),
onde H é o passo de Heaviside.

Passo 2

Combine os fatores exponenciais no integrando:
e^2iomega ,e^iomega t = e^iomega(t+2)
Assim a integral vira
12piintegral-infty^inftye^iomega(t+2)5+iomega,domega

Passo 3

Pela fórmula padrão com a=5 e u=t+2, temos
integral-infty^inftye^iomega(t+2)5+iomega,domega =2pi,e^-5(t+2),H(t+2)

Passo 4

Dividindo por 2pi de acordo com o problema, obtemos
12piintegral-infty^inftye^iomega(t+2)5+iomega,domega =H(t+2),e^-5(t+2)

Resposta

H(t+2),e^-5(t+2)

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