verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
a)
dada por
, com
e
.
a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função linear
que vai de
para
. O objetivo é descobrir se essa função é lipschitziana, ou seja, se existe uma constante
tal que para quaisquer dois valores
e
, a diferença
é menor ou igual a
vezes
. Para resolver isso, vamos usar a definição de função lipschitziana e aplicar à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser lipschitziana. Dizemos que
é lipschitziana se existe uma constante
tal que:
para todo
no domínio da função. Essa condição basicamente controla o quanto a função pode “crescer” à medida que nos movemos pelo eixo
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Vamos calcular
:
Aqui, simplificamos as expressões e fatoramos o
que está multiplicando a diferença
.
Passo 4
Observando a expressão
, vemos que ela já está na forma
, onde
. Isso mostra que a condição de Lipschitz é satisfeita com
.
Resposta
Sim, a função
é lipschitziana com a constante
.