verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
a) f: R R dada por f(x)=a x+b, com a, b in R e a neq 0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função linear f(x) = a x + b que vai de R para R . O objetivo é descobrir se essa função é lipschitziana, ou seja, se existe uma constante L tal que para quaisquer dois valores x e y , a diferença |f(x) - f(y)| é menor ou igual a L vezes |x - y| . Para resolver isso, vamos usar a definição de função lipschitziana e aplicar à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser lipschitziana. Dizemos que f é lipschitziana se existe uma constante L >= 0 tal que:
|f(x) - f(y)| <= L |x - y|
para todo x, y no domínio da função. Essa condição basicamente controla o quanto a função pode “crescer” à medida que nos movemos pelo eixo x .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função f(x) = a x + b . Vamos calcular |f(x) - f(y)| :
|f(x) - f(y)| = |a x + b - (a y + b)| = |a x - a y| = |a| cdot |x - y|
Aqui, simplificamos as expressões e fatoramos o a que está multiplicando a diferença x - y .

Passo 4

Observando a expressão |f(x) - f(y)| = |a| cdot |x - y| , vemos que ela já está na forma L |x - y| , onde L = |a| . Isso mostra que a condição de Lipschitz é satisfeita com L = |a| .

Resposta

Sim, a função f(x) = a x + b é lipschitziana com a constante L = |a| .

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