Considere a função f definida por:
f(x, y)=l x y^4raizx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Verifique se f é contínua em (0,0).Justifique sua resposta;

Passo 1

O enunciado define
f(x, y)= dfracx,y^4raizx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[1em] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Lembre que f é contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
]

Passo 2

Para calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) vamos estimar lvert f(x,y)rvert. Escrevendo
lvert f(x,y)rvert =lvert xrvert,lvert yrvert^4raizx^2+y^2,
note que lvert xrvert<=raizx^2+y^2.

Passo 3

Usando lvert xrvert<=raizx^2+y^2 obtemos
lvert f(x,y)rvert <=raizx^2+y^2;lvert yrvert^4raizx^2+y^2 =lvert yrvert^4

Passo 4

Como (x,y)to(0,0) implica lvert yrvertto0, temos lvert yrvert^4to0. Pelo Teorema do Confronto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
logo f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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