Calcule todos os limites de f no infinito (x -infty, x +infty).
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x)=lvert x^2-x-2rvertx^2-4,
definida em Rsetminus-2,2, e pede os limites em xto+infty e em xto-infty. Vamos usar (a) análise do sinal de x^2 - x - 2 para remover o valor absoluto quando lvert xrvert for grande e (b) divisão de numerador e denominador pelo maior grau (x^2) para obter o comportamento no infinito.
Passo 2
Encontremos as raízes do polinômio dentro do valor absoluto:
x^2-x-2=0;Longrightarrow;x=1pmraiz1+82=-1,,2
Isso indica que x^2-x-2>0 para x>2 e para x<-1. Em particular, quando xtopminfty temos sempre x^2-x-2>0, logo
lvert x^2-x-2rvert=x^2-x-2 para (lvert xrvert) grande
Passo 3
Para lvert xrvert grande, substituímos no f(x):
f(x) =x^2-x-2x^2-4
Agora dividimos numerador e denominador por x^2 para destacar os termos dominantes: