Considere a função f: R--2,2 R definida por:
f(x)=|x^2-x-2|x^2-4
Calcule todos os limites de f no infinito (x -infty, x +infty).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=lvert x^2-x-2rvertx^2-4,
definida em Rsetminus-2,2, e pede os limites em xto+infty e em xto-infty. Vamos usar (a) análise do sinal de x^2 - x - 2 para remover o valor absoluto quando lvert xrvert for grande e (b) divisão de numerador e denominador pelo maior grau ( x^2) para obter o comportamento no infinito.

Passo 2

Encontremos as raízes do polinômio dentro do valor absoluto:
x^2-x-2=0;Longrightarrow;x=1pmraiz1+82=-1,,2
Isso indica que x^2-x-2>0 para x>2 e para x<-1. Em particular, quando xtopminfty temos sempre x^2-x-2>0, logo
lvert x^2-x-2rvert=x^2-x-2 para (lvert xrvert) grande

Passo 3

Para lvert xrvert grande, substituímos no f(x):
f(x) =x^2-x-2x^2-4
Agora dividimos numerador e denominador por x^2 para destacar os termos dominantes:
f(x) =x^2l(1-1x-2x^2r)x^2l(1-4x^2r) =1-1x-2x^21-4x^2

Passo 4

Calculando limxto+inftyf(x). Quando xto+infty, os termos tfrac1x, tfrac2x^2 e tfrac4x^2 tendem a zero, portanto
limxto+inftyf(x) =1-0-01-0 =1

Passo 5

Calculando limxto-inftyf(x). O mesmo raciocínio vale para xto-infty: tfrac1xto0, tfrac2x^2to0 e tfrac4x^2to0, logo
limxto-inftyf(x) =1-0-01-0 =1

Resposta

limxto+inftyf(x)=1, limxto-inftyf(x)=1

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