Considere a função f: R--2,2 R definida por:
f(x)=|x^2-x-2|x^2-4
Determine, se existirem, as equações que determinam as retas assíntotas verticais do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=lvert x^2 - x - 2rvertx^2 - 4
com domínio Rsetminus-2,2 e pede as retas verticais assíntotas, ou seja, os valores de x em que f(x)topminfty.

Passo 2

Para achar candidatas a assíntotas verticais, identificamos onde o denominador se anula:
x^2-4=0 Longrightarrow x=pm2

Passo 3

Analisamos primeiro x=2. Fatoramos o numerador:
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1),
então
f(x) = lvert(x-2)(x+1)rvert(x-2)(x+2)
Para xto2^+, temos lvert x-2rvert=x-2 e
f(x)=(x-2)(x+1)(x-2)(x+2) =x+1x+2longrightarrow34
Para xto2^-, temos lvert x-2rvert=-(x-2) e
f(x)=-(x-2)(x+1)(x-2)(x+2) =-x+1x+2longrightarrow-34
Como ambos os limites são finitos, não há reta vertical em x=2.

Passo 4

Agora em x=-2. Perto de -2, o numerador tende a
lvert(-2-2)(-2+1)rvert=4, enquanto o denominador se comporta como
(x-2)(x+2)approx-4,(x+2). Logo,
f(x)approx4-4,(x+2)=-1x+2
Assim,
limxto-2^-f(x)=+infty, limxto-2^+f(x)=-infty,
portanto x=-2 é reta assíntota vertical.

Resposta

A única reta assíntota vertical é
x=-2

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