Determine, se existirem, as equaçães que determinam as retas assíntotas horizontais do gráfico de f.
Passo 1
O enunciado dá a função
f: Rsetminus-2,2;longrightarrow;R,
definida por
f(x)=lvert x^2 - x - 2rvertx^2 - 4
Pede-se as retas assíntotas horizontais, ou seja, as retas y=L com
L = limxto+inftyf(x) e L = limxto-inftyf(x)
Vamos usar fatoração, análise do valor absoluto em regiões e cálculo de limite de razão de polinômios.
Passo 2
Fatoramos o numerador e o denominador:
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1), x^2 - 4 = (x-2)(x+2)
Para lvert(x-2)(x+1)rvert em valores de x muito grandes (positivos ou negativos), o produto (x-2)(x+1) é positivo (pois para x>2 ambos os fatores são positivos, e para x<-1 ambos são negativos, gerando produto positivo). Logo, para xtopminfty temos
lvert x^2 - x - 2rvert = (x-2)(x+1)
Assim, em ambas as pontas,
f(x) = (x-2)(x+1)(x-2)(x+2) = x+1x+2,
desde que xneq2,-2.
Passo 3
Agora calculamos os limites de x+1x+2
quando xtopminfty. Como é uma razão de polinômios do mesmo grau,
limxto+inftyx+1x+2 = limxto-inftyx+1x+2 = 11 =1
Passo 4
Os dois limites laterais em +infty e -infty coincidem em 1. Logo existe uma única assíntota horizontal, que é a reta