Considere a função f: R^3 R definida por f(x, y, z)=e^x-y+z. Determine Im(f).

Passo 1

O enunciado dá a função fcolon R^3toR definida por
f(x,y,z)=e^,x - y + z
O que se pede é a imagem de f, ou seja, o conjunto de todos os valores reais que f pode assumir.

Passo 2

Defina
u = x - y + z
Como x, y e z variam livremente em R, o valor de u também pode ser qualquer número real. Por exemplo, para um dado u0inR basta escolher x=u0, y=0, z=0 para obter u=u0.

Passo 3

Logo, os valores de f são
f(x,y,z)=e^u com uinR
Como a função exponencial e^u cobre exatamente todos os reais positivos, concluímos que
Im(f)=e^umid uinR=(0,infty)

Resposta

Im(f)=(0,infty)

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