Existe uma função
tal que
, com
satisfazendo
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma função
tal que, para todo
, valha
O conteúdo é sobre a invertibilidade da função exponencial e seu conjunto-imagem.
Passo 2
Analisamos a função
dada por
. Sabemos que:
-
é injetora (monótona crescente). - A imagem de
é , pois para todo .
Passo 3
Para que exista
satisfazendo
, é necessário e suficiente que
. Se
, não há nenhum
real com
.
Passo 4
Logo, não há como definir
em toda
. O único caso em que existe inversa é restringir o domínio de
a
, e aí a solução é
Resposta
Não existe
tal que
para todo
. A inversa da exponencial existe apenas em
, sendo
.