Existe uma função f: R longrightarrow R tal que f(x)=y, com y satisfazendo x=e^y ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma função fcolon RtoR tal que, para todo xinR, valha
x = e^,f(x)
O conteúdo é sobre a invertibilidade da função exponencial e seu conjunto-imagem.

Passo 2

Analisamos a função varphicolonRto(0,infty) dada por varphi(y)=e^y. Sabemos que:
  1. varphi é injetora (monótona crescente).
  2. A imagem de varphi é (0,infty), pois e^y>0 para todo yinR.

Passo 3

Para que exista yinR satisfazendo x=e^y, é necessário e suficiente que xin(0,infty). Se x<=0, não há nenhum y real com e^y=x.

Passo 4

Logo, não há como definir f(x) em toda R. O único caso em que existe inversa é restringir o domínio de x a (0,infty), e aí a solução é
f(x)=ln(x), x>0

Resposta

Não existe fcolonRtoR tal que x=e^,f(x) para todo xinR. A inversa da exponencial existe apenas em (0,infty), sendo f(x)=ln(x).

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