Seja
base de
. Se
, encontre
T(3,1) .
Passo 1
Beleza, então o que o exercício pede? A gente tem uma transformação linear
T:R^2toR^2 e uma base
B=b1=(1,1),,b2=(1,-1) . Na base
B , a matriz de
T é
O objetivo é achar
T(3,1) no nosso jeitão “normal” (base canônica).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- saber como escrever
em coordenadas na base(3,1) ,B - multiplicar pela matriz
,[T]B - voltar das coordenadas em
para a base canônica.]B
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas de [v=(3,1)) na base
. Ou seja, queremos
tais que
Isso dá o sistema:
Explicando: a primeira linha vem das componentes .
Resolvendo: somando as duas equações,
então
.
Substituindo em , vem
então
.
Logo, o vetor em coordenadas na base é
Substituindo em
Logo, o vetor em coordenadas na base
]
Passo 3
Agora aplica a matriz
[T]B nesse vetor de coordenadas:
Isso significa que, na base
B ,
T(v) tem coordenadas
l(4,,-1r) .]
Passo 4
Por fim, convertemos de volta para a base canônica:
Calculando componente a componente:
então