Seja B=(1,1),(1,-1) base de R^2. Se [T]B=[cc2 & 0 0 & -1], encontre T(3,1).

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede? A gente tem uma transformação linear T:R^2toR^2 e uma base B=b1=(1,1),,b2=(1,-1). Na base B, a matriz de T é
[T]B = 2 & 0[6pt]0 & -1
O objetivo é achar T(3,1) no nosso jeitão “normal” (base canônica).
O que vamos precisar:
  1. saber como escrever (3,1) em coordenadas na base B,
  2. multiplicar pela matriz [T]B,
  3. voltar das coordenadas em B para a base canônica.]

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas de [v=(3,1)) na base . Ou seja, queremos tais que
Isso dá o sistema:
Explicando: a primeira linha vem das componentes .
Resolvendo: somando as duas equações, então .
Substituindo em , vem então .
Logo, o vetor em coordenadas na base é
]

Passo 3

Agora aplica a matriz [T]B nesse vetor de coordenadas:
[T(v)]B ;=; [T]B,[v]B ;=; 2 & 0[4pt]0 & -1 2[3pt]1 = 2cdot 2 + 0cdot 1[6pt]0cdot 2 + (-1)cdot 1 = 4[3pt]-1
Isso significa que, na base B, T(v) tem coordenadas l(4,,-1r).]

Passo 4

Por fim, convertemos de volta para a base canônica:
T(3,1) ;=; 4,b1 + (-1),b2 = 4,(1,1) -1,(1,-1)
Calculando componente a componente:
4,(1,1) = (4,4), -1,(1,-1) = (-1,1),
então
T(3,1) = (4,4) + (-1,1) = (4-1,;4+1) = (3,5)

Resposta

T(3,1) = (3,5).

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