Sabemos que a reta definida pela equação y=2 x-3 é tangente ao gráfico de f no ponto x=2 e que a lei de definição de f é
f(x)=x^3+a x^2+2 x+b
Determine os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^3+a x^2+2x+b
e informa que a reta
y=2x-3
é tangente ao gráfico de f no ponto x=2.
Para usar essa condição de tangência precisamos de duas coisas:
  1. A inclinação da reta tangente em x=2 coincide com f'(2).
  2. O ponto de tangência satisfaz f(2)= valor da reta em x=2.

Passo 2

Calcular a derivada de f e impor a condição de inclinação.
f'(x)=3x^2+2a x+2
Logo,
f'(2)=3cdot 2^2+2acdot 2+2=12+4a+2=14+4a
Como a reta tem coeficiente angular 2, igualamos
14+4a=2
e obtemos
a=-3

Passo 3

Impor que o valor de f em x=2 coincide com o da reta:
o valor da reta em x=2 é ,2cdot2-3=1.
Então
f(2)=8 +acdot4 +2cdot2 +b=8+4a+4+b=12+4a+b
Substituindo a=-3 fica f(2)=12-12+b=b, e como deve ser 1 temos
b=1

Resposta

a=-3 e b=1.

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