Considere a função f: R^2 R definida por f(x, y)=4 x^2-y^2. Determine
f(A), onde A=(x, y) in R^2 ; y=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar f(A) , onde a função f é definida por f(x, y) = 4x^2 - y^2 e o conjunto A consiste em todos os pares (x, y) que satisfazem y = x . Basicamente, vamos ver quais valores a função f assume quando y é igual a x . Para isso, vamos usar conceitos de funções e conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir y por x na função f(x, y) , já que em A , y = x . Assim, temos:
f(x, y) = 4x^2 - y^2 com y = x Rightarrow f(x, x) = 4x^2 - x^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão que obtivemos:
f(x, x) = 4x^2 - x^2 = 3x^2
Então, para cada x real, f(x, x) = 3x^2 .

Passo 4

Em seguida, vamos entender o conjunto f(A) . Ele é formado por todos os valores que f(x, y) assume quando (x, y) está em A . Já vimos que f(x, x) = 3x^2 , então:
f(A) = 3x^2 mid x in R

Passo 5

Agora, vamos analisar os valores que 3x^2 pode assumir. Sabemos que x^2 é sempre maior ou igual a zero, já que é um quadrado. Multiplicando por 3, ainda teremos valores maiores ou iguais a zero:
3x^2 >= 0 forall x in R

Passo 6

Portanto, o conjunto f(A) é formado por todos os números reais que são maiores ou iguais a zero. Em outras palavras:
f(A) = [0, +infty)

Resposta

O conjunto f(A) é igual a todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja:
f(A) = [0, +infty)

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