Seja f: R R dada por f(x)=x^2-3 x+2. Calcule:
(a) f^-1(0)
(b) f^-1(-7)
(c) f^-1((0,+infty))
(d) f^-1([1,2])
(e) Im(f)

Passo 1

Vamos resolver os subitens do exercício que envolve funções inversas. Temos a função f: R R dada por f(x) = x^2 - 3x + 2 . Precisamos calcular os inversos de f para diferentes valores e intervalos, além da imagem de f . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções inversas e análise de quadráticas.

Passo 2

a) Calcular f^-1(0)
Para encontrar f^-1(0) , precisamos resolver a equação f(x) = 0 , ou seja:
x^2 - 3x + 2 = 0
Esta é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
(x - 1)(x - 2) = 0
Assim, as soluções são x = 1 e x = 2 . Portanto:
f^-1(0) = 1, 2

Passo 3

b) Calcular f^-1(-7)
Vamos resolver f(x) = -7 :
x^2 - 3x + 2 = -7
Primeiro, igualamos a equação a zero:
x^2 - 3x + 2 + 7 = 0
x^2 - 3x + 9 = 0
Agora, calculamos o discriminante De<a :
De<a = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(9) = 9 - 36 = -27
Como De<a < 0 , não há soluções reais. Portanto:
f^-1(-7) = varnothing

Passo 4

c) Calcular f^-1((0, +infty))
Queremos encontrar todos os valores de x tais que f(x) > 0 :
x^2 - 3x + 2 > 0
Primeiro, encontramos as raízes da equação f(x) = 0 :
Já sabemos que x = 1 e x = 2 .
Como a parábola f(x) = x^2 - 3x + 2 tem concavidade para cima (coeficiente de x^2 positivo), a função será positiva fora das raízes. Assim:
x < 1 ou x > 2
Portanto:
f^-1((0, +infty)) = (-infty, 1) cup (2, +infty)

Passo 5

d) Calcular f^-1([1, 2])
Aqui, queremos encontrar os valores de x tais que:
1 <= x^2 - 3x + 2 <= 2
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Primeiro, x^2 - 3x + 2 >= 1 :
x^2 - 3x + 1 >= 0
Resolvemos a equação associada x^2 - 3x + 1 = 0 :
De<a = 9 - 4 = 5
x = 3 pm raiz52
Assim, a solução da desigualdade é:
x <= 3 - raiz52 ou x >= 3 + raiz52
Agora, x^2 - 3x + 2 <= 2 :
x^2 - 3x + 0 <= 0
x(x - 3) <= 0
As raízes são x = 0 e x = 3 . A solução da desigualdade é:
0 <= x <= 3
Agora, combinando ambas as condições:
3 - raiz52 <= x <= 3 + raiz52
Portanto:
f^-1([1, 2]) = [ 3 - raiz52, 3 + raiz52 ]

Passo 6

e) Calcular Im(f)
A imagem de f é o conjunto de todos os valores que f(x) pode assumir. Como f(x) = x^2 - 3x + 2 é uma parábola com concavidade para cima, seu valor mínimo ocorre no vértice.
A coordenada x do vértice é:
xv = -b2a = 32
O valor mínimo de f(x) é:
f( 32 ) = ( 32 )^2 - 3 ( 32 ) + 2 = 94 - 92 + 2 = 94 - 184 + 84 = -14
Assim, a imagem de f é todos os números reais maiores ou iguais a -14:
Im(f) = [ -14, +infty )

Resposta

a) f^-1(0) = 1, 2
b) f^-1(-7) = varnothing
c) f^-1((0, +infty)) = (-infty, 1) cup (2, +infty)
d) f^-1([1, 2]) = [ 3 - raiz52, 3 + raiz52 ]
e) Im(f) = [ -14, +infty )

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