Seja
dada por
. Calcule:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vamos resolver os subitens do exercício que envolve funções inversas. Temos a função
dada por
. Precisamos calcular os inversos de
para diferentes valores e intervalos, além da imagem de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções inversas e análise de quadráticas.
Passo 2
a) Calcular
Para encontrar
, precisamos resolver a equação
, ou seja:
Esta é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
Assim, as soluções são
e
. Portanto:
Passo 3
b) Calcular
Vamos resolver
:
Primeiro, igualamos a equação a zero:
Agora, calculamos o discriminante
:
Como
, não há soluções reais. Portanto:
Passo 4
c) Calcular
Queremos encontrar todos os valores de
tais que
:
Primeiro, encontramos as raízes da equação
:
Já sabemos que
e
.
Como a parábola
tem concavidade para cima (coeficiente de
positivo), a função será positiva fora das raízes. Assim:
Portanto:
Passo 5
d) Calcular
Aqui, queremos encontrar os valores de
tais que:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Primeiro,
:
Resolvemos a equação associada
:
Assim, a solução da desigualdade é:
Agora,
:
As raízes são
e
. A solução da desigualdade é:
Agora, combinando ambas as condições:
Portanto:
Passo 6
e) Calcular
A imagem de
é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como
é uma parábola com concavidade para cima, seu valor mínimo ocorre no vértice.
A coordenada
do vértice é:
O valor mínimo de
é:
Assim, a imagem de
é todos os números reais maiores ou iguais a
:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)