Então podemos afirmar que
a) Apenas as afirmações (i) e (ii) são falsas.
b) As afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.
d) Apenas a afirmação (iii) é verdadeira.
e) Todas as afirmações são falsas.
Considere as afirmações
i) f não é injetiva e f^-1([3,5])=4.
ii) f não é sobrejetiva e f^-1([3,5])=f^-1([2,6]).
iii) f é injetiva e f^-1([0,4])=[-2, infty[.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função [f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de :
O que a gente precisa fazer é analisar três afirmações sobre essa função e descobrir quais são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender dois conceitos importantes: injeção (ou função injetiva) e sobrejeção (ou função sobrejetiva), além de saber como encontrar a pré-imagem de conjuntos, ou seja, (f^{-1}] de um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetiva e sobrejetiva:
Injetiva: Cada elemento do conjunto de chegada é imagem de no máximo um elemento do conjunto de partida. Ou seja, se f(a) = f(b) então a = b .
Sobrejetiva: Todo elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida.
Agora, vamos analisar cada trecho da função f(x) :
Para x <= -1 : f(x) = x + 2 . Isso é uma função linear, que é sempre injetiva e sobrejetiva nesse intervalo.
Para -1 < x <= 1 : f(x) = x^2 . Essa é uma função quadrática, que não é injetiva porque diferentes valores de x podem dar o mesmo f(x) . Por exemplo, f(-0,5) = f(0,5) = 0,25 .
Para x > 1 : f(x) = 4 . Aqui, a função é constante, ou seja, todo x > 1 dá o mesmo valor f(x) = 4 , o que também não é injetivo.
Passo 3
Vamos agora analisar cada afirmação:
Afirmação (i)
"f não é injetiva e f^-1([3,5]) = 4 ."
Injetividade: Já vimos que f(x) não é injetiva porque, por exemplo, f(-2) = 0 e f(2) = 4 . Então essa parte é verdadeira.
f^-1([3,5]) : Isso significa todos os x tais que f(x) está entre 3 e 5.
Para x + 2 <= -1 + 2 = 1 : Não entra no intervalo [3,5].
Para x^2 : x^2 está entre 3 e 5 quando raiz3 <= |x| <= raiz5 , ou seja, x in [-raiz5, -raiz3] cup [raiz3, raiz5] .
Para x > 1 : f(x) = 4 , que está em [3,5], mas todos esses x > 1 dão f(x) = 4 , então f^-1([3,5]) inclui todos esses x , não apenas 4 .
Então, a segunda parte de (i) é falsa.
Afirmação (ii)
"f não é sobrejetiva e f^-1([3,5]) = f^-1([2,6]) ."
Sobrejetividade: A função f(x) atinge valores como 0 (quando x = -2 ) até +infty (já que para x > 1 , f(x) = 4 , mas não atinge valores acima de 4). Então, ela não é sobrejetiva porque não cobre todos os reais.
f^-1([3,5]) vs f^-1([2,6]) :
f^-1([3,5]) inclui x onde f(x) está entre 3 e 5.
f^-1([2,6]) inclui x onde f(x) está entre 2 e 6.
Mas f^-1([2,6]) também inclui x onde f(x) = 2 , o que não está incluído em f^-1([3,5]) .
Então, f^-1([3,5]) não é igual a f^-1([2,6]) . Portanto, essa afirmação é falsa.
Afirmação (iii)
"f é injetiva e f^-1([0,4]) = [-2, infty[ ."
Injetividade: Já vimos que f(x) não é injetiva, então essa parte já é falsa.
Mesmo que a segunda parte fosse verdadeira, a afirmação inteira seria falsa.
Resposta
A resposta correta é a) Apenas as afirmações (i) e (ii) são falsas.