(4.0) Considere a função definida por
:
(a) Encontre os pontos críticos;
(b) Encontre as regiões de crescimento e decrescimento;
(c) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local;
(d) Encontre os pontos de inflexão;
(e) Encontre
;
(f) Trace o gráfico.
(a) Encontre os pontos críticos;
(b) Encontre as regiões de crescimento e decrescimento;
(c) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local;
(d) Encontre os pontos de inflexão;
(e) Encontre
(f) Trace o gráfico.
Passo 1
O exercício pede para analisar a função
. É um problema de cálculo diferencial: a gente vai usar derivadas para achar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, limites e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro a gente calcula a derivada usando a regra do produto. Se
e
, então
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
, daí
ou
.
Passo 3
Agora a gente vê onde
é positivo ou negativo. Como
sempre, o sinal vem de
:
-
quando (cresce); -
quando ou (decresce).
Passo 4
Para classificar
e
, usamos a segunda derivada. Derivando
dá
Em
,
(mínimo local). Em
,
(máximo local).
Passo 5
Pontos de inflexão ocorrem quando
, ou seja
cuja solução é
. Nesses valores a concavidade troca de sinal.
Passo 6
Agora os limites:
porque a exponencial domina o polinômio;
já que
e
.
Passo 7
No esboço do gráfico, a função sai de
em
, decresce até o mínimo em
, depois cresce até o máximo em
e, enfim, decresce novamente, se aproximando de 0 quando
. Os pontos de inflexão em
mostram onde a curvatura muda.
Resposta
a) Pontos críticos:
e
.
b) Cresce em e decresce em
.
c) é mínimo local;
é máximo local.
d) Pontos de inflexão: e
.
e) ;
.
f) Esboço: sai de , passa em
, atinge
e decai para 0.
b) Cresce em
c)
d) Pontos de inflexão:
e)
f) Esboço: sai de