(4.0) Considere a função definida por f(x)=x^2 e^-x :
(a) Encontre os pontos críticos;
(b) Encontre as regiões de crescimento e decrescimento;
(c) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local;
(d) Encontre os pontos de inflexão;
(e) Encontre lim x pm infty f(x);
(f) Trace o gráfico.

Passo 1

O exercício pede para analisar a função f(x)=x^2 e^-x. É um problema de cálculo diferencial: a gente vai usar derivadas para achar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, limites e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a derivada usando a regra do produto. Se u(x)=x^2 e v(x)=e^-x, então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x e^-x+x^2(-e^-x)=e^-x(2x-x^2)=x e^-x(2-x)
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja x e^-x(2-x)=0, daí x=0 ou x=2.

Passo 3

Agora a gente vê onde f'(x) é positivo ou negativo. Como e^-x>0 sempre, o sinal vem de x(2-x):
  • x(2-x)>0 quando 0<x<2 (cresce);
  • x(2-x)<0 quando x<0 ou x>2 (decresce).

Passo 4

Para classificar x=0 e x=2, usamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=e^-x(x^2-2x)
f''(x)=e^-xigl((2x-2)-(x^2-2x)r)=e^-x(x^2-4x+2)
Em x=0, f''(0)=2>0 (mínimo local). Em x=2, f''(2)=-2e^-2<0 (máximo local).

Passo 5

Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0, ou seja
x^2-4x+2=0,
cuja solução é x=2pmraiz2. Nesses valores a concavidade troca de sinal.

Passo 6

Agora os limites:
limxto+inftyx^2 e^-x=0 porque a exponencial domina o polinômio;
limxto-inftyx^2 e^-x=+infty já que x^2to+infty e e^-x=e^|x|to+infty.

Passo 7

No esboço do gráfico, a função sai de +infty em xto-infty, decresce até o mínimo em (0,0), depois cresce até o máximo em l(2,4e^-2r) e, enfim, decresce novamente, se aproximando de 0 quando xto+infty. Os pontos de inflexão em x=2pmraiz2 mostram onde a curvatura muda.

Resposta

a) Pontos críticos: x=0 e x=2.
b) Cresce em (0,2) e decresce em (- abla,0)cup(2,+infty).
c) x=0 é mínimo local; x=2 é máximo local.
d) Pontos de inflexão: x=2-raiz2 e x=2+raiz2.
e) limxto+inftyf(x)=0; limxto-inftyf(x)=+infty.
f) Esboço: sai de +infty, passa em (0,0), atinge (2,4/e^2) e decai para 0.

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