Resolva usando Substituição Simples em Funções Compostas
\n& \int \tan ^{2}(x) \operatorname{sec} ^{2}(x) d x

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções trigonométricas: tan^2(x) sec^2(x). A matéria que vamos usar é o cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição simples para resolver integrais de funções compostas. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a substituição simples funciona quando conseguimos encontrar uma parte da função que, ao ser derivada, está presente na integral. Olhando para tan^2(x) sec^2(x), vemos que a derivada de tan(x) é sec^2(x). Isso sugere que podemos usar u = tan(x) como nossa substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = tan(x) dudx = sec^2(x) du = sec^2(x) dx
Agora, substituímos na integral original:
integral tan^2(x) sec^2(x) dx = integral u^2 du

Passo 4

Agora, a integral está mais simples: integral u^2 du. Vamos integrar usando a regra básica de potências:
integral u^2 du = u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = tan(x):
u^33 + C = tan^3(x)3 + C

Resposta

A integral de tan^2(x) sec^2(x) dx é tan^3(x)3 + C.

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