Resolva usando Substituição Simples em Funções Compostas
\n& \int \sin ^{3}(4 x) \cos (4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin^3(4x) cos(4x) , dx usando Substituição Simples. Esse método é muito útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Vamos precisar entender como identificar uma parte da função para substituir e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que podem ser substituídas. Na nossa integral, temos sin^3(4x) e cos(4x). Observe que a derivada de sin(4x) é cos(4x) times 4, o que aparece na integral. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para substituir uma parte da integral. Vamos escolher:
u = sin(4x)
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 4 cos(4x) implies du = 4 cos(4x) , dx
Isso significa que:
cos(4x) , dx = du4

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral sin^3(4x) cos(4x) , dx = integral u^3 cdot du4 = 14 integral u^3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^3:
14 integral u^3 , du = 14 cdot u^44 + C = u^416 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir u de volta para sin(4x):
u^416 + C = sin^4(4x)16 + C

Resposta

A integral integral sin^3(4x) cos(4x) , dx é igual a sin^4(4x)16 + C.

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