Resolva usando Substituição Simples em Produtos e Quocientes
\n& \int x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral:
integral x cos(x^2) , dx
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com métodos de substituição para resolver integrais que envolvem produtos e quocientes de funções. Para resolver isso, vamos usar a substituição simples, que é uma técnica que facilita a integração ao substituir uma parte da integral por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que dentro do cosseno temos x^2 , que é uma função complicada em relação a x . Então, vamos escolher:
u = x^2
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial dx . Derivando ambos os lados:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso nos dá:
x , dx = du2

Passo 3

Agora, vamos substituir u e du na integral original:
integral x cos(x^2) , dx = integral cos(u) cdot du2
Podemos fatorar a constante 12 para fora da integral:
12 integral cos(u) , du

Passo 4

A integral de cos(u) em relação a u é sin(u) , então:
12 integral cos(u) , du = 12 sin(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, vamos substituir u de volta para x usando a relação que definimos no início ( u = x^2 ):
12 sin(u) + C = 12 sin(x^2) + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral x cos(x^2) , dx = 12 sin(x^2) + C

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