Considere a função f: A B definida por f(x)=4 xx-5
Escolha a alternativa correta para que f seja uma função bijetora.
a. A=R-5, B=R-5
b. A=R-5, B=R
c. A=R-5, B=R-4
d. A=R-4, B=R-5
e. A=R, B=R-4

Passo 1

O enunciado pede para escolher A e B de modo que
fcolon Ato B definida por
f(x)=4xx-5
seja bijetora. O conteúdo é análise de domínio, imagem e bijeção de funções racionais.

Passo 2

Para que f(x)=4xx-5 esteja bem definida, o denominador não pode ser zero, logo
x-5neq0
xneq5
Portanto o domínio natural é
A=Rsetminus5

Passo 3

Agora vamos achar para quais valores de y a equação
4xx-5=y
tem solução única em x. Resolvendo:
4x=y(x-5)
(4-y),x=-5y
x=-5y4-y
Esse x está sempre em Rsetminus5 (pois tentar igualar a 5 leva a contradição) e é único desde que 4-yneq0. Logo não existe solução se
4-y=0Longrightarrow y=4,
o que significa que f nunca atinge y=4. Assim a imagem de f é
Im(f)=Rsetminus4

Passo 4

Concluímos que escolhendo
A=Rsetminus5, B=Rsetminus4
a função f é injetora e sobrejetora, ou seja, bijetora.

Resposta

c. A=Rsetminus5,;B=Rsetminus4

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