Considere a função
, definida por
F não é injetora. Restrinja o domínio de f para que ela se torne bijetora.
F não é injetora. Restrinja o domínio de f para que ela se torne bijetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função matemática chamada
, definida de todos os números reais
para o intervalo
. A função é dada por
. O objetivo aqui é restringir o domínio dessa função para que ela se torne uma bijeção, ou seja, que seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que a função
não é injetora no domínio completo
. Uma função é injetora se cada valor do conjunto de saída é produzido por apenas um valor do conjunto de entrada. Observando a função
, percebemos que para qualquer
positivo ou negativo, o valor de
será o mesmo porque estamos usando o valor absoluto de
. Por exemplo,
. Isso significa que dois valores diferentes de
produzem o mesmo valor de
, o que quebra a injeção.
Passo 3
Para tornar
injetora, precisamos garantir que cada valor de
seja associado a apenas um valor de
. Como a função é simétrica em relação ao eixo
(devido ao
), podemos restringir o domínio a apenas valores não negativos ou apenas valores não positivos de
. Vamos escolher restringir
a valores não negativos, ou seja,
.
Passo 4
Agora, com o domínio restrito a
, vamos verificar se a função é injetora e sobrejetora. Sendo injetora, já mostramos que para cada
existe apenas um
. Agora, para a sobrejeção, queremos que todos os valores do intervalo
sejam atingidos pela função. Observando
com
, quando
,
, e conforme
aumenta,
se aproxima de 0, mas nunca o alcança. Assim, todos os valores em
são cobertos.
Resposta
Restringindo o domínio de
para
, a função
se torna bijetora no intervalo
.