Considere a função f: R (0,1], definida por f(x)=11+|x|
F não é injetora. Restrinja o domínio de f para que ela se torne bijetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função matemática chamada f , definida de todos os números reais R para o intervalo (0,1] . A função é dada por f(x) = 11 + |x| . O objetivo aqui é restringir o domínio dessa função para que ela se torne uma bijeção, ou seja, que seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a função f não é injetora no domínio completo R . Uma função é injetora se cada valor do conjunto de saída é produzido por apenas um valor do conjunto de entrada. Observando a função f(x) = 11 + |x| , percebemos que para qualquer x positivo ou negativo, o valor de f(x) será o mesmo porque estamos usando o valor absoluto de x . Por exemplo, f(2) = f(-2) = 13 . Isso significa que dois valores diferentes de x produzem o mesmo valor de f(x) , o que quebra a injeção.

Passo 3

Para tornar f injetora, precisamos garantir que cada valor de f(x) seja associado a apenas um valor de x . Como a função é simétrica em relação ao eixo y (devido ao |x| ), podemos restringir o domínio a apenas valores não negativos ou apenas valores não positivos de x . Vamos escolher restringir x a valores não negativos, ou seja, x >= 0 .

Passo 4

Agora, com o domínio restrito a x >= 0 , vamos verificar se a função é injetora e sobrejetora. Sendo injetora, já mostramos que para cada f(x) existe apenas um x . Agora, para a sobrejeção, queremos que todos os valores do intervalo (0,1] sejam atingidos pela função. Observando f(x) = 11 + x com x >= 0 , quando x = 0 , f(x) = 1 , e conforme x aumenta, f(x) se aproxima de 0, mas nunca o alcança. Assim, todos os valores em (0,1] são cobertos.

Resposta

Restringindo o domínio de f para x >= 0 , a função f(x) = 11 + x se torna bijetora no intervalo (0,1] .

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