(1,0 ponto) Seja f(x)=ln (x)x^2 e^x. Calcule f^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de f(x) = ln(x)x^2 e^x no ponto x = 1 . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções que envolvem quocientes e exponentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) . Como temos uma fração, vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função u(x)v(x) , a derivada é:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui, u(x) = ln(x) e v(x) = x^2 e^x .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) :
  • Derivada de u(x) = ln(x) :
u'(x) = 1x
  • Derivada de v(x) = x^2 e^x :
    Para derivar v(x) , usamos a Regra do Produto, já que temos a multiplicação de duas funções:
v'(x) = ddx(x^2) cdot e^x + x^2 cdot ddx(e^x) = 2x e^x + x^2 e^x
Isso pode ser simplificado para:
v'(x) = e^x(2x + x^2)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Quociente com os valores que encontramos:
f'(x) = 1x cdot x^2 e^x - ln(x) cdot e^x(2x + x^2)(x^2 e^x)^2
Simplificando o numerador:
1x cdot x^2 e^x = x e^x
Então, temos:
f'(x) = x e^x - ln(x) e^x(2x + x^2)x^4 e^2x

Passo 5

Podemos simplificar mais:
f'(x) = e^x ( x - ln(x)(2x + x^2) )x^4 e^2x = x - ln(x)(2x + x^2)x^4 e^x

Passo 6

Agora, vamos calcular f'(1) . Substituímos x = 1 na expressão:
f'(1) = 1 - ln(1)(2 cdot 1 + 1^2)1^4 e^1
Sabemos que ln(1) = 0 , então:
f'(1) = 1 - 0e = 1e

Resposta

A derivada de f(x) no ponto x = 1 é f'(1) = 1e .

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