(1,0 ponto cada item) Calcule as integrais definidas abaixo.
integral0^pi / 4(14-sen(4 x)) d x (Dica. Derive f(x)=1a sen(a x+b))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de 14 - sin(4x) de 0 até pi4 . Isso tá dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente integrando funções trigonométricas e constantes. Pra resolver, a gente vai precisar integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo constante 14 . A integral de uma constante k em relação a x é simplesmente kx . Então:
integral 14 , dx = 14x

Passo 3

Agora, vamos integrar o termo -sin(4x) . A integral de sin(ax) em relação a x é -1acos(ax) . Usando essa regra:
integral -sin(4x) , dx = -( -14cos(4x) ) = 14cos(4x)

Passo 4

Juntando as integrais dos dois termos, a antiderivada completa é:
14x + 14cos(4x)
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a pi4 .
Para x = pi4 :
14 cdot pi4 + 14cos(4 cdot pi4) = pi16 + 14cos(pi) = pi16 + 14(-1) = pi16 - 14
Para x = 0 :
14 cdot 0 + 14cos(0) = 0 + 14(1) = 14

Passo 5

Agora, subtraímos o valor em x = 0 do valor em x = pi4 :
( pi16 - 14 ) - 14 = pi16 - 12

Resposta

A integral definida vale pi16 - 12 .

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