a) Mostre que f e f^prime são seccionalmente contínuas no intervalo [-1,1).
b) Supondo que f pode ser definida no restante da reta de modo a ser periódica de período 2, encontre sua série de Fourier.
c) Verifique que nos pontos de descontinuidade de f sua série de Fourier converge para a média entre os limites laterais nestes pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função definida por partes no intervalo [-1, 1):
f(x)= -1, & -1 <= x<0 1, & 0 <= x<1
Conteúdo da matéria: No item (a), vamos falar sobre continuidade seccional, que é basicamente verificar se a função (e sua derivada) são contínuas em cada pedaço do domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso em funções definidas por partes.
Passo 2
Vamos começar pelo item a): Mostrar que f e f' são seccionalmente contínuas no intervalo [-1,1).
Primeiro, continuidade seccional significa que a função é contínua em cada uma das seções onde ela está definida. No nosso caso, a função f(x) está definida de duas maneiras diferentes em dois intervalos: [-1, 0) e [0, 1).
Para verificar a continuidade em cada seção, precisamos observar se a função não tem “saltos” dentro desses intervalos.
Passo 3
Vamos analisar a função f(x) em cada intervalo:
Para -1 <= x < 0: f(x) = -1 . Essa é uma função constante, então ela é contínua nesse intervalo porque não há variação ou descontinuidade.
Para 0 <= x < 1: f(x) = 1 . Novamente, é uma função constante e, portanto, contínua nesse intervalo.
Agora, devemos verificar a continuidade nos pontos de transição, ou seja, em x = 0 . Embora a função possa ter um salto em x = 0 , a definição de continuidade seccional não exige que a função seja contínua em todo o domínio, apenas em cada seção separadamente. Portanto, f(x) é contínua em cada seção de seu domínio.
Passo 4
Agora, vamos verificar a derivada f'(x) . Para isso, precisamos derivar a função em cada seção.
Para -1 <= x < 0: f(x) = -1 . A derivada de uma constante é zero, então f'(x) = 0 .
Para 0 <= x < 1: f(x) = 1 . Novamente, a derivada é zero, então f'(x) = 0 .
Portanto, f'(x) é uma função constante, igual a zero, em cada seção do domínio. Como funções constantes são contínuas, f'(x) também é seccionalmente contínua em [-1,1).
Passo 5
Agora, passamos para o item b): Supondo que f pode ser definida no restante da reta de modo a ser periódica de período 2, encontrar sua série de Fourier.
Primeiro, função periódica significa que a função se repete em intervalos iguais ao período dado, que neste caso é 2. Então, estendendo f(x) para todos os reais com período 2, teremos a mesma definição repetida a cada intervalo de comprimento 2.
Para encontrar a série de Fourier, vamos considerar que f(x) é uma função par ou ímpar. Observando f(x) , percebemos que ela é uma função ímpar, pois f(-x) = -f(x) .
Isso simplifica nossa série de Fourier, pois funções ímpares só têm termos de senos na série.
Passo 6
A série de Fourier para uma função ímpar com período 2L = 2 (logo, L = 1 ) é dada por:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL)
Onde os coeficientes bn são calculados por:
bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx
No nosso caso, L = 1 , então a fórmula simplifica para:
Note que 1 - (-1)^n é zero para n par e 2 para n ímpar. Então, os coeficientes bn são:
bn = 4npi, & se n ímpar 0, & se n par í
Passo 8
Portanto, a série de Fourier fica:
f(x) = sumk=0^infty 4(2k+1)pi sin((2k+1)pi x)
Onde k é um número inteiro não negativo, representando apenas os termos ímpares.
Passo 9
Agora, vamos para o item c): Verificar que nos pontos de descontinuidade de f , sua série de Fourier converge para a média entre os limites laterais nestes pontos.
Primeiro, pontos de descontinuidade de f(x) ocorrem onde a função “salta” de um valor para outro. No nosso caso, isso acontece em x = 0 .
Média entre os limites laterais significa calcular o valor médio entre o que a função se aproxima pela esquerda e pela direita desse ponto de descontinuidade.
Passo 10
Vamos calcular os limites laterais em x = 0 :
limx to 0^- f(x) = -1 limx to 0^+ f(x) = 1
A média desses valores é:
-1 + 12 = 0
Portanto, a série de Fourier deve convergir para 0 em x = 0 .
Passo 11
Agora, vamos verificar o que a série de Fourier dá em x = 0 :