Questão 3) Encontre a área delimitada pelas retas x=-1, x=1, pelo gráfico da função f(x)=8 x^3+8 x+5 e o eixo 0 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área delimitada pelas retas x = -1 e x = 1 , pelo gráfico da função f(x) = 8x^3 + 8x + 5 e pelo eixo OX (o eixo das abscissas). Isso envolve usar cálculo integral para determinar a área entre essas curvas. Vamos precisar entender como calcular integrais e como determinar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração, que são x = -1 e x = 1 . Isso significa que vamos calcular a área entre esses dois valores de x .

Passo 3

Agora, precisamos saber se a função f(x) está acima ou abaixo do eixo OX nesse intervalo, porque isso afeta como calculamos a área. Para isso, vamos encontrar onde f(x) cruza o eixo OX , ou seja, onde f(x) = 0 .

Passo 4

Vamos resolver a equação 8x^3 + 8x + 5 = 0 para encontrar as raízes dentro do intervalo de x = -1 a x = 1 . Essa equação cúbica pode não ter raízes fáceis, então vamos verificar os valores de f(x) nos limites e no ponto central para ver se cruza o eixo.
Calculando:
  • Para x = -1 :
f(-1) = 8(-1)^3 + 8(-1) + 5 = -8 - 8 + 5 = -11
  • Para x = 0 :
f(0) = 8(0)^3 + 8(0) + 5 = 5
  • Para x = 1 :
f(1) = 8(1)^3 + 8(1) + 5 = 8 + 8 + 5 = 21
Vemos que f(x) muda de negativo para positivo entre x = -1 e x = 0 , o que indica que há uma raiz nesse intervalo. Vamos chamar essa raiz de x = a .

Passo 5

Como temos uma raiz x = a no intervalo, a função f(x) está abaixo do eixo OX de x = -1 a x = a e acima de x = a a x = 1 . Para encontrar a área total, devemos calcular a integral de f(x) de -1 a a como área negativa e de a a 1 como área positiva, e somar os valores absolutos dessas integrais.

Passo 6

Vamos encontrar o valor aproximado de a onde f(a) = 0 . Pela análise anterior, sabemos que a está entre -1 e 0 . Usando métodos numéricos ou uma calculadora:
Após cálculos, aproximamos a approx -0,5 .
Agora, calculamos as integrais:
Área total = | integral-1^-0,5 (8x^3 + 8x + 5) , dx | + | integral-0,5^1 (8x^3 + 8x + 5) , dx | Á
Calculando cada integral:
Para integral (8x^3 + 8x + 5) , dx , a primitiva é 2x^4 + 4x^2 + 5x .
Então:
Área = | [2x^4 + 4x^2 + 5x ]-1^-0,5 | + | [2x^4 + 4x^2 + 5x ]-0,5^1 | Á
Calculando os valores:
Para x = -0,5 :
2(-0,5)^4 + 4(-0,5)^2 + 5(-0,5) = 2(0,0625) + 4(0,25) - 2,5 = 0,125 + 1 - 2,5 = -1,375
Para x = -1 :
2(-1)^4 + 4(-1)^2 + 5(-1) = 2(1) + 4(1) - 5 = 2 + 4 - 5 = 1
Para x = 1 :
2(1)^4 + 4(1)^2 + 5(1) = 2(1) + 4(1) + 5 = 2 + 4 + 5 = 11
Agora, substituindo:
Área = |(-1,375) - (1)| + |(11) - (-1,375)| = | -2,375 | + | 12,375 | = 2,375 + 12,375 = 14,75 Á

Resposta

A área delimitada pelas retas x = -1 , x = 1 , pelo gráfico da função f(x) = 8x^3 + 8x + 5 e pelo eixo OX é aproximadamente 14,75 unidades de área.

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