Questão 3) Encontre a área delimitada pelas retas , pelo gráfico da função e o eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área delimitada pelas retas e , pelo gráfico da função e pelo eixo (o eixo das abscissas). Isso envolve usar cálculo integral para determinar a área entre essas curvas. Vamos precisar entender como calcular integrais e como determinar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração, que são e . Isso significa que vamos calcular a área entre esses dois valores de .
Passo 3
Agora, precisamos saber se a função está acima ou abaixo do eixo nesse intervalo, porque isso afeta como calculamos a área. Para isso, vamos encontrar onde cruza o eixo , ou seja, onde .
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar as raízes dentro do intervalo de a . Essa equação cúbica pode não ter raízes fáceis, então vamos verificar os valores de nos limites e no ponto central para ver se cruza o eixo.
Calculando:
Para :
Para :
Para :
Vemos que muda de negativo para positivo entre e , o que indica que há uma raiz nesse intervalo. Vamos chamar essa raiz de .
Passo 5
Como temos uma raiz no intervalo, a função está abaixo do eixo de a e acima de a . Para encontrar a área total, devemos calcular a integral de de a como área negativa e de a como área positiva, e somar os valores absolutos dessas integrais.
Passo 6
Vamos encontrar o valor aproximado de onde . Pela análise anterior, sabemos que está entre e . Usando métodos numéricos ou uma calculadora:
Após cálculos, aproximamos .
Agora, calculamos as integrais:
Calculando cada integral:
Para integral (8x^3 + 8x + 5) , dx , a primitiva é 2x^4 + 4x^2 + 5x .
Então:
Área = | [2x^4 + 4x^2 + 5x ]-1^-0,5 | + | [2x^4 + 4x^2 + 5x ]-0,5^1 | Á