Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando:
Método de Newton com precisão epsilon=0,0001.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar raiz7 no intervalo [2,3] usando o método de Newton com precisão epsilon = 0,0001. Vamos aplicar Newton à função
f(x) = x^2 - 7
que tem raiz em raiz7 e derivada
f'(x) = 2x

Passo 2

O método de Newton usa a iteração
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
ou seja, para f(x)=x^2-7
xn+1 = xn - xn^2 - 72xn = xn + 7xn2

Passo 3

Escolhemos como chute inicial o ponto médio do intervalo, x0 = 2,5. A cada iteração calculamos
xn+1 = xn + 7/xn2
e o critério de parada será lvert xn+1-xnrvert < epsilon.

Passo 4

Calculamos x1:
x1 = 2,5 + 72,52 = 2,5 + 2,82 = 2,65
A diferença é lvert x1 - x0rvert = 0,15 > 0,0001, então continuamos.

Passo 5

Calculamos x2:
x2 = 2,65 + 72,652 approx 2,65 + 2,641512 = 2,645755
A diferença é lvert x2 - x1rvert approx 0,004245 > 0,0001, seguimos mais uma iteração.

Passo 6

Calculamos x3:
x3 = 2,645755 + 72,6457552 approx 2,645755 + 2,64575132 = 2,64575315
Agora lvert x3 - x2rvert approx 0,000002, que é menor que epsilon. Portanto paramos aqui.

Resposta

A aproximação de raiz7 com precisão 10^-4 pelo método de Newton é
raiz7 approx 2,6458

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