Se uma piscina tem 5.000 litros de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou na piscina depois de t minutos como V(t)=5.000(1-t40)^2 para 0 <= t <= 40. Determine a taxa na qual a água escoa para fora da piscina depois de
20 min

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Torricelli para o volume de água na piscina
V(t)=5000l(1-t40r)^2,
para 0<= t<=40. Queremos a taxa de escoamento depois de 20 min, ou seja, a taxa de variação dVdt em t=20. Como o volume está diminuindo, o escoamento (em módulo) será -V'(20).

Passo 2

Vamos calcular a derivada de V(t) fazendo a regra da cadeia. Primeiro escrevemos em bloco:
V'(t) =5000cdot 2l(1-t40r)cdotddtl(1-t40r) =5000cdot 2l(1-t40r)cdotl(-140r)
Simplificando:
V'(t)=-1000040l(1-t40r)=-250l(1-t40r)

Passo 3

Agora avaliamos em t=20:
V'(20)=-250l(1-2040r)=-250cdot12=-125
Isso significa que o volume está diminuindo a 125 L/min.

Passo 4

A taxa de escoamento (em módulo) é o valor positivo dessa variação:
escoamento=-V'(20)=125 (litros por minuto)

Resposta

125 litros por minuto.

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