Considere a função
a) Verifique que
e
são seccionalmente contínuas no intervalo
.
b) Calcule a série de Fourier de
.
c) Usando os itens anteriores, mostre que
b) Calcule a série de Fourier de
c) Usando os itens anteriores, mostre que
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período
Pede-se:
- Verificar que são seccionalmente contínuas em
. - Calcular a série de Fourier de
. - A partir dela, mostrar que
Passo 2
Uma função é seccionalmente contínua se for contínua em cada intervalo fechado onde está definida, salvo um número finito de quebras.
Aqui é constante em
e em
, logo contínua em cada trecho. Em
(e em
) há salto finito, mas é permitido. Portanto
é seccionalmente contínua em
.
Como é constante em cada parte interna, sua derivada
vale zero lá, e só falha em 0 e
. São pontos isolados, então
também é seccionalmente contínua.
Aqui
Como
Passo 3
Vamos obter os coeficientes da série de Fourier padrão em
:
Para
:
Note que, quando
é par,
. Para
ímpar,
Passo 4
A série de Fourier de
fica
Passo 5
Escolhendo
, que é ponto de continuidade de
, temos
. Por outro lado,
Mas
. Logo