Considere a função
f(x)= 0, & -pi <= x<0 ou x=pi pi, & 0 <= x<pi
a) Verifique que f e f^prime são seccionalmente contínuas no intervalo [-pi, pi).
b) Calcule a série de Fourier de f.
c) Usando os itens anteriores, mostre que
sumk=0^+infty (-1)^k2 k+1=pi4

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período
Pede-se:
  1. Verificar que são seccionalmente contínuas em .
  2. Calcular a série de Fourier de .
  3. A partir dela, mostrar que

Passo 2

Uma função é seccionalmente contínua se for contínua em cada intervalo fechado onde está definida, salvo um número finito de quebras.
Aqui f é constante em [-,pi,0) e em [0,pi), logo contínua em cada trecho. Em x=0 (e em x=pi) há salto finito, mas é permitido. Portanto f é seccionalmente contínua em [-,pi,pi).
Como f é constante em cada parte interna, sua derivada f' vale zero lá, e só falha em 0 e pi. São pontos isolados, então f' também é seccionalmente contínua.

Passo 3

Vamos obter os coeficientes da série de Fourier padrão em [-,pi,pi]:
a0 = 1piintegral-,pi^pif(x),dx =1pil(integral-,pi^00,dx+integral0^pipi,dxr) =pi^2pi=pi
Para n>=1:
an = 1piintegral-,pi^pif(x)cos(nx),dx =1piintegral0^pipicos(nx),dx =integral0^picos(nx),dx =sin(npi)n-0=0
bn = 1piintegral-,pi^pif(x)sin(nx),dx =1piintegral0^pipisin(nx),dx =integral0^pisin(nx),dx =1-(-1)^nn
Note que, quando n=2k é par, b2k=0. Para n=2k+1 ímpar,
b2k+1=1-(-1)^2k+12k+1 =1-(-1)2k+1 =22k+1

Passo 4

A série de Fourier de f fica
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r) =pi2 +sumk=0^infty22k+1sinl((2k+1)xr)

Passo 5

Escolhendo x=tfracpi2, que é ponto de continuidade de f, temos f(tfracpi2)=pi. Por outro lado,
pi =pi2 +sumk=0^infty22k+1sinl((2k+1)pi2r)
Mas sinl((2k+1)tfracpi2r)=(-1)^k. Logo
pi =pi2 +2sumk=0^infty(-1)^k2k+1 Longrightarrow sumk=0^infty(-1)^k2k+1 =pi4

Resposta

sumk=0^+infty(-1)^,k2k+1=pi4

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