Considere a função definida por:
f(x, y)=ll x^4 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
a) f é contínua na origem? Justifique.
b) f é diferenciável na origem? Justifique.

Passo 1

A questão nos dá a função
f(x, y)= x^4yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
O conteúdo é: continuidade e diferenciabilidade em duas variáveis no ponto (0,0). Para resolver precisamos usar limite em coordenadas polares para continuidade e a definição de diferenciabilidade (existência de derivadas parciais e resto o(|(x,y)|)).

Passo 2

Para testar continuidade em (0,0), mudamos para coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então, quando (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=(rcostheta)^4(rsintheta)r^2=r^3cos^4theta,sintheta
Logo
|f(x,y)|<= r^3,|cos^4theta,sintheta|<= r^3,
e isso vai a 0 quando r\to0. Assim, lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), logo f é contínua.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) usando a definição. Para a derivada em x:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
De modo análogo,
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=0
Então o candidato ao diferencial linear é L(x,y)=0.

Passo 4

Falta verificar o resto da definição de diferenciabilidade: precisamos mostrar
f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)=o(raizx^2+y^2)
Novamente em polares temos |f(x,y)|=r{3}|\cos{4}\theta\sin\theta|, então
|f(x,y)|r=r^2|cos^4thetasintheta|<= r^2to0 (rto0)
Isso prova que o erro é de ordem menor que r, logo f é diferenciável em (0,0).

Resposta

f é contínua na origem e também diferenciável na origem.

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