Seja f a função definida pela série de potências
sumn=0^+infty x^n+1(n+1)^2=x+x^24+x^39+cdots+x^n+1(n+1)^2+ldots
(a) Ache o domínio de f.
Resp Df=[-1,1]
(b) Escreva a série de potências que define a função f^prime e determine o domínio de f^prime.
Resp. Df=[-1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida pela série de potências
sumn=0^inftyx^n+1(n+1)^2
e pede: (a) o domínio de f; (b) escrever a série de potências de f' e determinar o domínio de f'.
Para isso vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência, checar a convergência nos extremos e então diferenciar termo a termo.

Passo 2

Aplicando o teste da razão à sequência dos termos
an=x^n+1(n+1)^2
vemos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^n+2/(n+2)^2|x|^n+1/(n+1)^2 =limntoinfty|x|cdot(n+1)^2(n+2)^2 =|x|
Logo, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. O raio de convergência é R=1.
Nos extremos temos
– Para x=1:
sumn=0^infty1(n+1)^2 é convergente (série p-com p=2>1).
– Para x=-1:
sumn=0^infty(-1)^n+1(n+1)^2 é absolutamente convergente (mesma razão 1/(n+1)^2).
Portanto o domínio de f é
Df=[-1,1]

Passo 3

Dentro do intervalo de convergência aberto (-1,1) podemos diferenciar termo a termo:
f'(x) =sumn=0^inftyddxl(x^n+1(n+1)^2r) =sumn=0^infty(n+1),x^n(n+1)^2 =sumn=0^inftyx^nn+1

Passo 4

Para a série de f' repetimos o teste da razão: o limite
limntoinfty|x|cdottfracn+1n+2=|x|
dá raio R=1. Nos extremos:
– Em x=1:
sumn=0^infty1n+1 diverge (série harmônica).
– Em x=-1:
sumn=0^infty(-1)^nn+1 converge condicionalmente (série alternada).
Logo o domínio de f' é
Df'=[-1,1)

Resposta

(a) Df=[-1,1]
(b)
f'(x)=sumn=0^inftyx^nn+1, Df'=[-1,1)

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