(b) Escreva a série de potências que define a função e determine o domínio de .
Resp.
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida pela série de potências
e pede: (a) o domínio de ; (b) escrever a série de potências de e determinar o domínio de .
Para isso vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência, checar a convergência nos extremos e então diferenciar termo a termo.
Passo 2
Aplicando o teste da razão à sequência dos termos
vemos
Logo, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. O raio de convergência é R=1.
Nos extremos temos
– Para x=1: sumn=0^infty1(n+1)^2 é convergente (série p-com p=2>1).
– Para x=-1: sumn=0^infty(-1)^n+1(n+1)^2 é absolutamente convergente (mesma razão 1/(n+1)^2).
Portanto o domínio de f é
Df=[-1,1]
Passo 3
Dentro do intervalo de convergência aberto (-1,1) podemos diferenciar termo a termo:
Para a série de f' repetimos o teste da razão: o limite limntoinfty|x|cdottfracn+1n+2=|x|
dá raio R=1. Nos extremos:
– Em x=1: sumn=0^infty1n+1 diverge (série harmônica).
– Em x=-1: sumn=0^infty(-1)^nn+1 converge condicionalmente (série alternada).
Logo o domínio de f' é