Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
( ) Se sumn=1^infty an converge absolutamente, an neq 0, então sumn=1^infty 1|an| diverge.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a afirmação:
“Se sumn=1^inftyan converge absolutamente e anneq 0 para todo n, então sumn=1^infty1lvert anrvert diverge.”
O conteúdo é séries numéricas e, em particular, usar que convergência absoluta implica anto0 e que uma série só pode convergir se seu termo geral tende a zero.

Passo 2

Como sumn=1^inftyan converge absolutamente, temos que
sumn=1^inftylvert anrvert converge.
Pelo teste do termo geral para séries, isso implica
limntoinftylvert anrvert = 0

Passo 3

Se lvert anrvert to 0, então
limntoinfty1lvert anrvert = +infty,
ou seja, o termo geral 1lvert anrvert não tende a zero.

Passo 4

Como condição necessária para a convergência de sumn=1^inftybn é limntoinftybn=0, concluímos que
sumn=1^infty1lvert anrvert diverge.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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