Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
( ) Se
converge absolutamente,
, então
diverge.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar a afirmação:
“Se converge absolutamente e
para todo
, então
diverge.”
O conteúdo é séries numéricas e, em particular, usar que convergência absoluta implica e que uma série só pode convergir se seu termo geral tende a zero.
“Se
O conteúdo é séries numéricas e, em particular, usar que convergência absoluta implica
Passo 2
Como
converge absolutamente, temos que
converge.
Pelo teste do termo geral para séries, isso implica
Pelo teste do termo geral para séries, isso implica
Passo 3
Se
, então
ou seja, o termo geral
não tende a zero.
Passo 4
Como condição necessária para a convergência de
é
, concluímos que
diverge.
Resposta
A afirmação é verdadeira.