Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pela curva y=25-x^{2}, y=3 girando em torno do eixo x e esboce o sólido em questão.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano xy limitada pelas curvas
y = 25 - x^{2} \quad\text{e}\quad y = 3.
O conteúdo é o método dos anéis (washers). Vamos precisar:
  1. encontrar os limites de x onde as curvas se intersectam;
  2. montar a integral de volume usando raio externo R(x)=25-x^{2} e raio interno r(x)=3;
  3. calcular a integral e simplificar.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
25 - x^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 22 \;\Longrightarrow\; x = \pm \sqrt{22}.

Passo 3

Pelo método dos anéis, o volume é
V = \pi \int_{-\sqrt{22}}^{\sqrt{22}} \Bigl[\bigl(R(x)\bigr)^{2} - \bigl(r(x)\bigr)^{2}\Bigr]\,dx = \pi \int_{-\sqrt{22}}^{\sqrt{22}} \bigl[(25 - x^{2})^{2} - 3^{2}\bigr]\,dx.

Passo 4

Como o integrando é função par de x, usamos simetria:
V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{22}} \bigl[(25 - x^{2})^{2} - 9\bigr]\,dx.

Passo 5

Expandimos o polinômio:
(25 - x^{2})^{2} - 9 = 625 - 50x^{2} + x^{4} - 9 = x^{4} - 50x^{2} + 616.
Logo
V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{22}} \bigl(x^{4} - 50x^{2} + 616\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculamos cada termo:
\int_{0}^{\sqrt{22}} x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{\sqrt{22}} = \frac{(\sqrt{22})^{5}}{5}, \quad \int_{0}^{\sqrt{22}} x^{2}\,dx = \frac{(\sqrt{22})^{3}}{3}, \quad \int_{0}^{\sqrt{22}} 1\,dx = \sqrt{22}.
Então
V = 2\pi\Bigl[ \frac{(\sqrt{22})^{5}}{5} -50\,\frac{(\sqrt{22})^{3}}{3} +616\,\sqrt{22} \Bigr].

Passo 7

Observando (\sqrt{22})^{5}=484\sqrt{22} e (\sqrt{22})^{3}=22\sqrt{22}, temos
V = 2\pi\,\sqrt{22}\Bigl(\frac{484}{5}-\frac{1100}{3}+616\Bigr) =2\pi\,\sqrt{22}\,\frac{5192}{15} =\frac{10384}{15}\,\pi\,\sqrt{22}.

Passo 8

Esboço do sólido:
— A superfície externa é o paraboloide de revolução gerado por y=25-x^{2} girando em torno do eixo x, com raio máximo 25 em x=0.
— A superfície interna é o cilindro de raio constante 3.
O sólido vai de x=-\sqrt{22} a x=+\sqrt{22}, formando um “anel paraboloidal” com furo cilíndrico.

Resposta

V = \frac{10384}{15}\,\pi\,\sqrt{22}.

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