Faça uso da regra da cadeia para calcular partial wpartial r, em r=-1 e s=3, considerando que w=(x+y+z)^3;
x=cos (r-s), y=r+s e z=sen(r-s).
Obs: 1 . Eventualmente seja necessário utilizar calculadora científica, use a do computador ou mesmo a do geogebra;
2. Não esquecer de configurar os ângulos da calculadora para radianos, senão o resultado sairá errado;
3. Arredonde a solução para apenas uma casa decimal (exemplo: se a conta for 2,537 , basta responder 2,5).
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas parciais e a regra da cadeia. A gente precisa calcular a derivada parcial de w em relação a r no ponto r = -1 e s = 3 . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função principal: w = (x + y + z)^3 . Aqui, w depende de x , y e z , que por sua vez dependem de r e s . Nosso objetivo é achar partial wpartial r .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. Isso significa que vamos derivar w em relação a cada uma das variáveis internas ( x , y , z ) e depois multiplicar pela derivada dessas variáveis em relação a r :
partial wpartial r = partial wpartial x cdot partial xpartial r + partial wpartial y cdot partial ypartial r + partial wpartial z cdot partial zpartial r

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  • partial wpartial x = 3(x + y + z)^2
  • partial wpartial y = 3(x + y + z)^2
  • partial wpartial z = 3(x + y + z)^2
Agora, as derivadas das variáveis internas em relação a r :
  • partial xpartial r = -sin(r - s)
  • partial ypartial r = 1
  • partial zpartial r = cos(r - s)

Passo 5

Vamos substituir r = -1 e s = 3 nas expressões de x , y e z :
r - s = -1 - 3 = -4
x = cos(-4), y = -1 + 3 = 2, z = sin(-4)
Calculando cos(-4) e sin(-4) (em radianos):
x approx cos(-4) approx -0.6536
z approx sin(-4) approx 0.7568

Passo 6

Agora, vamos calcular x + y + z :
x + y + z approx -0.6536 + 2 + 0.7568 approx 2.1032
Em seguida, calculamos (x + y + z)^2 :
(2.1032)^2 approx 4.415
Agora, substituímos tudo na expressão da regra da cadeia:
partial wpartial r = 3 cdot 4.415 cdot (-0.6536) + 3 cdot 4.415 cdot 1 + 3 cdot 4.415 cdot 0.7568
approx 3 cdot 4.415 cdot (-0.6536) + 3 cdot 4.415 cdot 1 + 3 cdot 4.415 cdot 0.7568
approx -8.676 + 13.245 + 10.032
approx 14.601

Resposta

boxed14.6

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