Considere a função y=f(x) definida implicitamente pela equação x+sen(y)-xx=1. O valor de f^prime(x) no ponto (1,0) é.
0 -1 -12 12 -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ y = f(x) $ que está definida de forma implícita pela equação $ x + \sin(y) - \frac{x}{x} = 1 $. O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma equação onde $ y $ está misturado com $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada para facilitar a derivação. Note que $ \frac{x}{x} $ simplifica para 1 (desde que $ x \neq 0 $). Então, a equação fica:
xx

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos para termos uma equação mais simples:
x + sin(y) = 2

Passo 4

Para encontrar $ f’(x) $ no ponto (1,0), precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembrando que $ y $ é uma função de $ x $, usamos a regra da cadeia para derivar $ \sin(y) $:
f'(x)
x
Aqui, $ y’ $ representa $ f’(x) $, a derivada que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ y’ $:
y'
cos(y) cdot y' = -1

Passo 6

Precisamos avaliar $ y’ $ no ponto (1,0). Substituindo $ y = 0 $ na expressão:
y'
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então:
y = 0

Resposta

O valor de $ f^{\prime}(x) $ no ponto (1,0) é -1.

Exercícios relacionados