Considere a função
definida implicitamente pela equação
. O valor de
no ponto
é.
0
0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ y = f(x) $ que está definida de forma implícita pela equação $ x + \sin(y) - \frac{x}{x} = 1 $. O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma equação onde $ y $ está misturado com $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada para facilitar a derivação. Note que $ \frac{x}{x} $ simplifica para 1 (desde que $ x \neq 0 $). Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar os termos para termos uma equação mais simples:
Passo 4
Para encontrar $ f’(x) $ no ponto (1,0), precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembrando que $ y $ é uma função de $ x $, usamos a regra da cadeia para derivar $ \sin(y) $:
Aqui, $ y’ $ representa $ f’(x) $, a derivada que queremos encontrar.
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ y’ $:
Passo 6
Precisamos avaliar $ y’ $ no ponto (1,0). Substituindo $ y = 0 $ na expressão:
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então:
Resposta
O valor de $ f^{\prime}(x) $ no ponto (1,0) é -1.