Considere a função F definida por:
F(x)=\int_{0}^{x}(t-1)(4-t) d t
(I) F possui um zero no intervalo [1,2]
(II) Em x=0, a reta tangente ao gráfico de F tem equação 4 x+y=0
Apenas (I) é Verdadeira
Anenas (II) é Verdadeira

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{0}^{x}(t-1)(4-t)\,dt
e nos pede para analisar duas afirmações:
(I) existe raiz de F em [1,2],
(II) a reta tangente ao gráfico de F em x=0 tem equação 4x+y=0.
Usaremos cálculo de integral, o Teorema do Valor Intermediário e derivada para reta tangente.

Passo 2

Para (I), calculamos F(1) e F(2). Primeiro note que
(t-1)(4-t)=5t - t^2 - 4,
logo
F(x)=\int_{0}^{x}(5t - t^2 - 4)\,dt =\Bigl[\tfrac{5}{2}t^2 - \tfrac{1}{3}t^3 -4t\Bigr]_0^x.
Assim
F(1)=\frac{5}{2}-\frac{1}{3}-4=-\frac{11}{6}<0,
F(2)=10-\frac{8}{3}-8=-\frac{2}{3}<0.
Como F(1) e F(2) são ambos negativos, não há troca de sinal em [1,2], logo não existe zero aí. Portanto (I) é falsa.

Passo 3

Para (II), pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
F'(x)=(x-1)(4-x).
Em x=0 isso dá F'(0)=-4, e F(0)=0. A reta tangente em (0,0) com coeficiente angular -4 é
y=-4x,
que em forma geral se escreve
4x+y=0.
Logo (II) é verdadeira.

Resposta

Apenas (II) é Verdadeira.

Exercícios relacionados