Faça um esboço da curva dada pela função vetorial F(t).
F(t)=\left\langle t^{2}-2,5-2 t\right\rangle, t \in[-3,4].

Passo 1

Temos a função vetorial
F(t)=\langle\,x(t),y(t)\rangle=\langle\,t^{2}-2,\;5-2t\rangle,\quad t\in[-3,4].
O conteúdo aqui é traçar uma curva parametrizada em \mathbb{R}^2. Para esboçar, primeiro vamos eliminar o parâmetro e achar a equação cartesiana da curva.

Passo 2

Da segunda componente temos
y=5-2t \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{5-y}{2}.
Substituindo em x=t^{2}-2 obtém-se
x=\Bigl(\frac{5-y}{2}\Bigr)^{2}-2 =\frac{(5-y)^{2}}{4}-2.

Passo 3

Reescrevendo em forma canônica de parábola:
\frac{(5-y)^{2}}{4}=x+2 \quad\Longrightarrow\quad (y-5)^{2}=4\,(x+2).
Isto mostra que é uma parábola com vértice em (-2,5) e eixo paralelo ao eixo x, abrindo para a direita.

Passo 4

Para posicionar os pontos extremos marcamos:
t=-3\;\Longrightarrow\;(x,y)=(\,(-3)^{2}-2,\;5-2(-3)\,)=(7,11),
t=0\;\Longrightarrow\;(x,y)=(-2,5)\quad(\text{vértice}),é
t=4\;\Longrightarrow\;(x,y)=(14,-3).
O parâmetro t cresce de -3 até 4, então percorremos a parábola de (7,11) até (14,-3).

Passo 5

No esboço:
– Desenhe a parábola (y-5)^{2}=4(x+2).
– Marque o vértice em (-2,5).
– Marque e una os pontos (7,11)\to(-2,5)\to(14,-3).
– Indique uma flecha desde (7,11) (para t=-3) passando pelo vértice até (14,-3) (para t=4), mostrando o sentido de variação de t.

Resposta

A curva é o ramo da parábola de equação
(y-5)^{2}=4(x+2),
com vértice em (-2,5), passando por (7,11) em t=-3 e por (14,-3) em t=4. O percurso vai de (7,11) para (14,-3) ao longo dessa parábola, no sentido de t crescente.

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