Considere a função f(x) definida no intervalo [-1,1] pela expressão
f(x)=\left\{\begin{array}{r} x+1,-1 \leq x<-\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2},-\frac{1}{2} \leq|x| \leq \frac{1}{2} \\\ x, \frac{1}{2}<|x| \leq 1 \end{array}\right.
(a) (6P.) Calcule os coeficientes de Fourier de f(x).
(b) (3P.) Escreva a expressão de S_{2} f(x), explicitamente, sem usar o sinal de somatório. Lembre que estamos denotando por S_{N} f(x) a soma parcial de Fourier de f até o índice N.
(c) (3P.) Escreva a expressão obtida para a série de Fourier de f, ou seja S f(x).
(d) (3P.) Quanto valem S f(25) e S f(30) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)\) periódica de período \(2\) definida em \([-1,1]\) por \[f(x)= \begin{cases} x+1, & -1\le x<-\tfrac12,\\[6pt] \tfrac12, & -\tfrac12\le |x|\le\tfrac12,\\[6pt] x, & \tfrac12<|x|\le1. \end{cases}
Queremos a série de Fourier em L=1\], isto é \[f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr),\] onde \[a_0=\int_{-1}^1f(x)\,dx,\quad a_n=\int_{-1}^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_n=\int_{-1}^1f(x)\sin(n\pi x)\,dx.\] Vamos calcular \(a_0, depois a_n e b_n, e em seguida escrever S_2f(x), a série completa e avaliar em x=25,30.]

Passo 2

Cálculo de a_0.
\int_{-1}^1f(x)\,dx =\int_{-1}^{-1/2}(x+1)dx +\int_{-1/2}^{1/2}\frac12\,dx +\int_{1/2}^1 x\,dx =\frac18+\frac12+\frac38=1.
Logo
a_0=1,
e o termo constante da série é \tfrac{a_0}{2}=\tfrac12.

Passo 3

Cálculo de a_n.
Partindo de
a_n =\int_{-1}^{-1/2}(x+1)\cos(n\pi x)\,dx +\int_{-1/2}^{1/2}\tfrac12\cos(n\pi x)\,dx +\int_{1/2}^1 x\cos(n\pi x)\,dx,
fazendo integrações por partes em cada pedaço e somando, obtém-se
a_n=0 \quad\forall n\ge1.

Passo 4

Cálculo de b_n.
De modo semelhante,
b_n =\int_{-1}^{-1/2}(x+1)\sin(n\pi x)\,dx +\int_{-1/2}^{1/2}\tfrac12\sin(n\pi x)\,dx +\int_{1/2}^1 x\sin(n\pi x)\,dx,
e o resultado fechado é
\boxed{% b_n =-\frac{1}{n\pi}\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\frac{2}{n^2\pi^2}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\frac{(-1)^n}{n\pi}. }
Opcionalmente, pode-se escrever \cos(n\pi/2) e \sin(n\pi/2) em função de n\mod4.

Passo 5

Expressão de S_2f(x). São os termos até n=2:
S_2f(x) =\frac12 +b_1\sin(\pi x) +b_2\sin(2\pi x),
onde b_1 e b_2 vêm da fórmula do passo anterior. Explicitando,
b_1 =-\frac{1}{\pi}\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr) -\frac{2}{\pi^2}\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr) -\frac{(-1)^1}{\pi} =-\frac{0}{\pi}-\frac{2}{\pi^2}\cdot1+\frac1\pi =\frac1\pi-\frac{2}{\pi^2},
b_2 =-\frac{1}{2\pi}\cos(\pi) -\frac{2}{4\pi^2}\sin(\pi) -\frac{(-1)^2}{2\pi} =-\frac{1}{2\pi}(-1)-0-\frac1{2\pi} =0.
Logo
\boxed{% S_2f(x) =\frac12 +\Bigl(\frac1\pi-\frac{2}{\pi^2}\Bigr)\sin(\pi x). }

Passo 6

Expressão completa da série de Fourier: como a_n=0,
\boxed{% f(x)\sim S f(x) =\frac12 +\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\pi x), }
com b_n dado no passo 4.

Passo 7

Valores em x=25 e x=30.
Para x\in\Bbb Z, \sin(n\pi x)=\sin(n\pi\cdot\text{inteiro})=0. Assim toda a soma infinita de senos se anula, sobrando apenas o termo constante:
S f(25)=\frac12,\quad S f(30)=\frac12.

Resposta

O resultado final é:
(a) a_0=1, a_n=0 e
b_n =-\frac{1}{n\pi}\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\frac{2}{n^2\pi^2}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\frac{(-1)^n}{n\pi}.
(b)
S_2f(x) =\frac12 +\Bigl(\frac1\pi-\frac{2}{\pi^2}\Bigr)\sin(\pi x).
(c)
S f(x) =\frac12+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\pi x).
(d)
S f(25)=\frac12, \quad S f(30)=\frac12.

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