(a) (6P.) Calcule os coeficientes de Fourier de f(x).
(b) (3P.) Escreva a expressão de S_{2} f(x), explicitamente, sem usar o sinal de somatório. Lembre que estamos denotando por S_{N} f(x) a soma parcial de Fourier de f até o índice N.
(c) (3P.) Escreva a expressão obtida para a série de Fourier de f, ou seja S f(x).
(d) (3P.) Quanto valem S f(25) e S f(30) ?
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x)\) periódica de período \(2\) definida em \([-1,1]\) por
\[f(x)= \begin{cases} x+1, & -1\le x<-\tfrac12,\\[6pt] \tfrac12, & -\tfrac12\le |x|\le\tfrac12,\\[6pt] x, & \tfrac12<|x|\le1. \end{cases}
Queremos a série de Fourier em L=1\], isto é
\[f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr),\]
onde
\[a_0=\int_{-1}^1f(x)\,dx,\quad a_n=\int_{-1}^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_n=\int_{-1}^1f(x)\sin(n\pi x)\,dx.\]
Vamos calcular \(a_0, depois a_n e b_n, e em seguida escrever S_2f(x), a série completa e avaliar em x=25,30.]
Expressão completa da série de Fourier: como a_n=0,
\boxed{% f(x)\sim S f(x) =\frac12 +\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\pi x), }
com b_n dado no passo 4.
Passo 7
Valores em x=25 e x=30.
Para x\in\Bbb Z, \sin(n\pi x)=\sin(n\pi\cdot\text{inteiro})=0. Assim toda a soma infinita de senos se anula, sobrando apenas o termo constante: