QUESTÃO 4 (Valor 2,0 pontos): Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2 k+1)!}{2 k!} x^{k}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em zero
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k+1)!}{(2k)!}\,x^{k}.
O conteúdo aqui é séries de potência e vamos usar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência e depois verificar os extremos.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_k = \frac{(2k+1)!}{(2k)!}
e aplicamos o Teste da Razão, calculando
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}\,x^{\,k+1}}{a_k\,x^k}\right| = |x|\;\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}.

Passo 3

Agora extraímos a razão dos coeficientes:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\displaystyle\frac{(2(k+1)+1)!}{(2(k+1))!}}{\displaystyle\frac{(2k+1)!}{(2k)!}} = \frac{(2k+3)!}{(2k+2)!}\;\frac{(2k)!}{(2k+1)!} = \frac{2k+3}{2k+1}.
Logo
L = |x|\;\lim_{k\to\infty}\frac{2k+3}{2k+1} = |x|\cdot 1 = |x|.
Para convergir pelo Teste da Razão, precisamos de L<1, ou seja |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Com R=1, a série converge para |x|<1. Agora verificamos os extremos:
  1. Em x=1: o termo geral fica
    \displaystyle\frac{(2k+1)!}{(2k)!} = 2k+1,
    que não tende a zero, logo a série diverge.
  2. Em x=-1: o termo geral é (-1)^k(2k+1), que também não tende a zero, logo diverge.
Portanto, não há convergência nos extremos.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

Exercícios relacionados