QUESTÃO 4 (Valor 2,0 pontos): Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em zero
O conteúdo aqui é séries de potência e vamos usar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência e depois verificar os extremos.
Passo 2
Definimos o termo geral
e aplicamos o Teste da Razão, calculando
Passo 3
Agora extraímos a razão dos coeficientes:
Logo
Para convergir pelo Teste da Razão, precisamos de
, ou seja
. Assim o raio de convergência é
.
Passo 4
Com
, a série converge para
. Agora verificamos os extremos:
-
Em
: o termo geral fica
,
que não tende a zero, logo a série diverge. -
Em
: o termo geral é , que também não tende a zero, logo diverge.
Portanto, não há convergência nos extremos.
Resposta
O intervalo de convergência é
.