QUESTÃO 2 (Valor 2,0 pontos): Para as séries a seguir considere as respectivas somas parciais, \left\{S_{n}\right\}, e escreva os quatro primeiros termos de cada uma.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos (k \pi)}{2^{k}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(k\pi)}{2^{k}}
e pede as quatro primeiras somas parciais \{S_n\}. O conteúdo aqui é sequência de somas parciais e usamos a identidade trigonométrica para simplificar o termo geral antes de somar.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(k\pi)=(-1)^{k}
portanto o termo geral da série é
a_{k}=\frac{\cos(k\pi)}{2^{k}}=\frac{(-1)^{k}}{2^{k}}.
Vamos calcular a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}:
a_{1}=\frac{(-1)^{1}}{2^{1}}=-\frac12,\quad a_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2^{2}}=+\frac14,
a_{3}=\frac{(-1)^{3}}{2^{3}}=-\frac18,\quad a_{4}=\frac{(-1)^{4}}{2^{4}}=+\frac1{16}.

Passo 3

Agora somamos passo a passo para obter S_{1} e S_{2}:
S_{1}=a_{1}=-\frac12,
S_{2}=a_{1}+a_{2}=-\frac12+\frac14=-\frac14.

Passo 4

Continuamos para S_{3} e S_{4}:
S_{3}=S_{2}+a_{3}=-\frac14-\frac18=-\frac{3}{8},
S_{4}=S_{3}+a_{4}=-\frac{3}{8}+\frac1{16}=-\frac{5}{16}.

Resposta

S_{1}=-\tfrac12 S_{2}=-\tfrac14 S_{3}=-\tfrac{3}{8} S_{4}=-\tfrac{5}{16}

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