Considere uma função f(x) definida em um intervalo I. Uma primitiva ou antiderivada de f em I consiste em uma função F definida em I tal que F^prime(x)=f(x). Utilizamos a notação integral f(x) d x=F(x)+C para representar essa operação. Agora seja integral indefinida integral f(x) d x, tal que x>0, para F(x)=(ln x)+23 raizx^3+C. A sua antiderivada corresponde a F^prime(x)=f(x). Com essas condições, verifique se . [1,0 ponto]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções primitivas, também conhecidas como antiderivadas. A matéria aqui é cálculo, especificamente derivadas e integrais. Precisamos verificar se a função $ F(x) = \ln x + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C $ realmente é uma antiderivada de $ f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x} $ para $ x > 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da função em cada ponto. No caso, precisamos encontrar $ F’(x) $, que é a derivada de $ F(x) $, e ver se isso é igual a $ f(x) $.

Passo 3

Vamos derivar cada termo de $ F(x) $ separado. Começamos com $ \ln x $. A derivada de $ \ln x $ é bem conhecida:
F(x)

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: $ \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} $. Primeiro, vamos reescrever isso para facilitar a derivação:
23 raizx^3
Agora, aplicamos a regra da potência para derivar:
23 raizx^3 = 23 x^32

Passo 5

Por último, temos a constante $ C $. A derivada de uma constante é sempre zero:
C

Passo 6

Agora, vamos somar as derivadas dos termos que calculamos:
F'(x) = 1x + raizx + 0 = 1x + raizx

Resposta

Sim, $ F^{\prime}(x) = f(x) $.

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