Considere uma função
definida em um intervalo I. Uma primitiva ou antiderivada de f em I consiste em uma função F definida em I tal que
. Utilizamos a notação
para representar essa operação. Agora seja integral indefinida
, tal que
, para
. A sua antiderivada corresponde a
. Com essas condições, verifique se
. [1,0 ponto]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções primitivas, também conhecidas como antiderivadas. A matéria aqui é cálculo, especificamente derivadas e integrais. Precisamos verificar se a função $ F(x) = \ln x + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C $ realmente é uma antiderivada de $ f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x} $ para $ x > 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da função em cada ponto. No caso, precisamos encontrar $ F’(x) $, que é a derivada de $ F(x) $, e ver se isso é igual a $ f(x) $.
Passo 3
Vamos derivar cada termo de $ F(x) $ separado. Começamos com $ \ln x $. A derivada de $ \ln x $ é bem conhecida:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo: $ \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} $. Primeiro, vamos reescrever isso para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da potência para derivar:
Passo 5
Por último, temos a constante $ C $. A derivada de uma constante é sempre zero:
Passo 6
Agora, vamos somar as derivadas dos termos que calculamos:
Resposta
Sim, $ F^{\prime}(x) = f(x) $.